Question

5．如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知：BC=10，cos∠BCD=$\frac{3}{5}$，∠BCE=30°，则线段DE的长是3+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 在Rt△CDB和Rt△CBE中，通过解直角三角形易求得BD、BE的长．
过B作BF⊥DE于F，由圆周角定理知∠BCE=∠BDE，∠BED=∠BCD．
根据这些角的三角函数值以及BD、BE的长，即可求得DF、EF的值，从而得到DE的长．

解答 解：过B作BF⊥DE于F．
在Rt△CBD中，BC=10，cos∠BCD=$\frac{3}{5}$，
∴BD=8．
在Rt△BCE中，BC=10，∠BCE=30°，
∴BE=5．
在Rt△BDF中，∠BDF=∠BCE=30°，BD=8，
∴DF=BD•cos30°=4$\sqrt{3}$．
在Rt△BEF中，∠BEF=∠BCD，即cos∠BEF=cos∠BCD=$\frac{3}{5}$，BE=5，
∴EF=BE•cos∠BEF=3．
∴DE=DF+EF=3+4$\sqrt{3}$，
故答案为：3+4$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查的是圆周角定理和解直角三角形的综合应用，难度适中．