Question

【题目】如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线DN交BC于点D，交AB于点N，DF⊥AC于点F，交AE于点M．求证：

（1）AE＝DE；

（2）EM＝EC．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，得到∠DAB＝∠B＝22.5°，根据三角形的外角性质得到∠ADE＝∠DAB+∠B＝45°，根据等腰三角形的性质证明；

（2）证明△MDE≌△CAE，根据全等三角形的性质证明结论．

证明：（1）∵DN是AB的垂直平分线，

∴DA＝DB，

∴∠DAB＝∠B＝22.5°，

∴∠ADE＝∠DAB+∠B＝45°，

∵AE⊥BC，

∴∠AED＝90°，

∴∠DAE＝∠ADE＝45°，

∴AE＝DE；

（2）∵DF⊥AC，AE⊥BC，

∴∠MDE＝∠CAE，

在△MDE和△CAE中，

，

∴△MDE≌△CAE（ASA），

∴EM＝EC．