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如图,已知:为边长是的等边三角形,四边形为边长是6的正方形. 现将等边和正方形按如图①的方式摆放,使点与点重合,点在同一条直线上,从图①的位置出发,以每秒1个单位长度的速度沿方向向右匀速运动,当点与点重合时暂停运动,设的运动时间为秒().

(1)在整个运动过程中,设等边和正方形重叠部分的面积为,请直接写出之间的函数关系式;

(2)如图②,当点与点重合时,作的角平分线于点,将绕点逆时针旋转,使边与边重合,得到. 在线段上是否存在点,使得为等腰三角形. 如果存在,求线段的长度;若不存在,请说明理由.

(3)如图③,若四边形为边长是的正方形,的移动速度为每秒 个单位长度,其余条件保持不变. 开始移动的同时,点从点开始,沿折线以每秒个单位长度开始移动,停止运动时,点也停止运动. 设在运动过程中,交折线点,则当时,求的值.

 

【答案】

(1)当0≤t< 时,S= t  ≤t≤6时,S=

(2)①AN=AH=4时,EH=,②AH=NH时,EH=;(3)t=.

【解析】

试题分析:(1)分两种情况利用三角形的面积公式可以表示出0≤t< 时重叠部分的面积,

≤t≤6时用SABC-就可以求出重叠部分的面积.

(2)当点A与点D重合时,BE=CE= 

,再由条件可以求出AN的值,分三种情况讨论求出EH的值,①AN=AH=4时,②AN=NH=4时,此时H点在线段AG的延长线上,③AH=NH时,此时H点为线段AG的中垂线与AG的交点,从而可以求出答案.

(3)再运动中当0≤t<2时,如图2,△PEC∽△EFQ,可以提出t值;当2≤t≤4时,如图3,△PEC∽△QDF,可以提出t值.

试题解析:(1)当0≤t< 时,S= t2

 ≤t≤6时,S=

(2)当点A与点D重合时,BE=CE=

∵BM平分∠ABE,

∴∠MBE=∠ABE=30°

∴ME=2,

∵∠ABM=∠BAM,

∴AM=BM=4,

∵△ABM≌△ACN,

∴∠CAN=30°,AN=4

①AN=AH=4时,EH=

②AN=NH=4时,此时H点在线段AG的延长线上,∴舍去,

③AH=NH时,此时H点为线段AG的中垂线与AG的交点,如图1,

∴AK= AN=2,AH= 

∴EH=  =

(3)当0≤t<2时,如图2,△PEC∽△EFQ,

∴t=.

考点:1.正方形的性质;2.二次函数的应用;3.全等三角形的判定与性质;4.等腰三角形的判定.

 

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