Question

如图①是矩形包书纸的示意图，虚线是折痕，四个角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．
（1）现有一本书长为25cm，宽为20cm，厚度是2cm，如果按照如图①的包书方式，并且折叠进去的宽度是3cm，则需要包书纸的长和宽分别为多少？（请直接写出答案）．
（2）已知数学课本长为26cm，宽为18.5cm，厚为1cm，小明用一张面积为1260cm² 的矩形包书纸按如图①包好了这本书，求折进去的宽度．
（3）如图②，矩形ABCD是一张一个角（△AEF）被污损的包书纸，已知AB=30，BC=50，AE=12，AF=16，要使用没有污损的部分包一本长为19，宽为16，厚为6的字典，小红认为只要按如图②的剪裁方式剪出一张面积最大的矩形PGCH就能包好这本字典．设PM=x，矩形PGCH的面积为y，当x取何值时y最大？并由此判断小红的想法是否可行．

Answer 1

解：（1）20×2+2+3×2=48cm
25+3×2=31cm
答：包书纸的长和宽分别为48cm、31cm；

（2）设折进去的宽度为xcm，由题意得
（18.5×2+1+2x）（26+2x）=1260
化简得x²+32x-68=0
解得x₁=2，x₂=-34（不合题意，舍去）
答：折进去的宽度为2cm；

（3）由题意得EM=x，
所以y=（50-x）（30-12+x）
整理得y=-x²+x+900=-（x-13）²+
当x=13时，y最大
因为50-13=37＜16×2+6=38  
所以小红的想法不可行．
分析：（1）仔细分析题意及图形的特征即可得到结果；
（2）设折进去的宽度为xcm，根据“长为26 cm，宽为18.5cm，厚为1cm，矩形的面积为1260cm²”及可列方程求解，要注意解的取舍；
（3）先由题意表示出EM，再根据矩形的面积公式得到y与x的函数关系式，最后根据二次函数的性质求解即可．
点评：考查了二次函数的应用，二次函数的应用是初中数学的重点和难点，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握．