Question

12．如图，边长为$\sqrt{3}$的等边△ABC中，D、E分别为AB、BC上的点，且DB=$\sqrt{2}$，将线段ED绕E点顺时针旋转60°得到线段EF，连CF．当∠FCB=30°时，CE的长为$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 作FK∥AC交BC于K，由△BDE≌△KEF得BE=FK=KC即可解决问题．

解答 解：作FK∥AC交BC于K，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=$\sqrt{3}$，∠B=∠CB=60°，
∵FK∥AC，
∴∠FKE=∠ACB=60°，
∵∠FCB=30°，∠FKE=∠FCK+∠KFC，
∴∠FCK=∠KFC，
∴KF=KC，
∵∠DEC=∠B+∠BDE，∠DEC=∠DEF+∠FEK，∠DEF=∠B=60°，
∴∠BDE=∠FEK，
在△BDE和△KEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠FKE}\\{∠EDB=∠KEF}\\{DE=EF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△KEF，
∴EK=BD=$\sqrt{2}$，BE=FK=KC，
∵AB=AC=$\sqrt{3}$，
∴BE=KC=$\frac{1}{2}$（BC-EK）=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）
∴CE=BC-BE=$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、旋转不变性等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．