Question

【题目】设A是由2×4个整数组成的2行4列的数表，如果某一行(或某一列)各数之和为负数，那么改变该行(或该列)中所有数的符号，称为一次“操作”．

(1)如表1所示，如果经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表；(写出一种方法即可)

1	2	3	－7
－2	－1	0	1

表1

(2)如表2所示，若经过任意一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的值．

a	a2－1	－a	－a2
2－a	1－a2	a－2	a2

表2

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)a=1.

【解析】

（1）根据某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变改行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”，先改变表1的第4列，再改变第2行即可；

（2）根据每一列所有数之和分别为2，0，-2，0，每一行所有数之和分别为-1，1，然后分别根据如果操作第三列或第一行，根据每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，列出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出答案．

(1)答案不唯一，如根据题意，得

1	2	3	－7
－2	－1	0	1

改变第四列的符号，得

1	2	3	7
－2	－1	0	－1

改变第二行的符号，得

1	2	3	7
2	1	0	1

(2)由表2，得每一列所有数之和分别为2，0，－2，0，每一行所有数之和分别为－1，1.则①如果操作第三列，得

a	a2－1	a	－a2
2－a	1－a2	2－a	a2

第一行之和为2a-1，第二行之和为5-2a，

，

解得：，

又∵a为整数，

∴a=1或a=2，

②如果操作第一行，得

－a	1－a2	a	a2
2－a	1－a2	a－2	a2

那么每一列所有数之和分别为2－2a，2－2a2，2a－2，2a2.

由题意，得，

解得a＝1.

此时2－2a2＝0，2a2＝2.

综上可知a＝1.