Question

12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O分别交边AB、BC，AC于点G，F，E，GE交CD于点M，ME=4$\sqrt{6}$，MD：CO=2：5．
（1）求证：△MEO∽△MCE；
（2）求⊙O的直径CD的长．

Answer 1

分析 （1）连接DF，根据CD是圆直径，可知∠CFD=90°即DF⊥BC，DF∥AC，推出∠BDF=∠A，在⊙O中∠BDF=∠GEF，所以∠GEF=∠A；因为D是AB的中点，所以CD=AD，易得∠DCE=∠A，由相似三角形的判定定理，易得结论．
（2）根据D是Rt△ABC斜边AB的中点，DC=DA，∠DCA=∠A，可证明△OME与△EMC相似，所以ME²=OM×MC，结合MD：CO=2：5，OM：MD=3：2，OM：MC=3：8，设OM=3xMC=8x，可求x=2，则直径CD=10x=20；

解答 （1）证明：连接DF，
∵CD是圆直径，
∴∠CFD=90°即DF⊥BC，
∵∠ACB=90°，
∴DF∥AC，
∴∠BDF=∠A，
∵在⊙O中，∠BDF=∠GEF，
∴∠GEF=∠A，
∵D是AB的中点，
∴CD=AD，
∴∠DCE=∠A=∠GEF，
即∠MCE=∠MEO，
∵∠CME=∠EMO，
∴△MEO∽△MCE（AA）；

（2）解：∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴DC=DA，
∴∠DCA=∠A，
又由（1）知∠GEF=∠A，
∴∠DCA=∠GEF，
又∵∠OME=∠EMC，
∴△OME∽△EMC，
∴$\frac{OM}{ME}=\frac{ME}{MC}$，
∴ME²=OM×MC，
又∵ME=4$\sqrt{6}$，
∴OM×MC═96，
∵MD：CO=2：5，
∴OM：MD=3：2，∴OM：MC=3：8，
设OM=3x，MC=8x，
∴3x×8x=96，
∴x=2，
CD=10x=20．

点评 本题主要考查了函数和几何图形的综合运用，解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．