Question

9．如图（1），已知抛物线y=ax²+bx-3的对称轴为直线x=1，与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，一次函数y=x+1经过点A，且与y轴交于点D．
（1）求出该抛物线解析式；
（2）如图（2），点P为抛物线B、C两点间部分上任意一点（不包含B、C两点），设点P的横坐标为t，设四边形DCPB的面积为S，求出S与t的函数关系式．并确定t为何值时，S取得最大值？最大值为多少；
（3）如图（3），将△ODB沿直线y=x+1平移得△O'D'B'，设O'B'与抛物线交于点E，连接ED'．若ED'恰好将△O'D'B'的面积分为1：2两部分，请直接写出此时的平移距离．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B两点坐标，代入抛物线的解析式，解方程组即可．
（2）如图2中，连接OP．设P（t，t²-2t-3）．根据S=S_△BOD+S_△OCP+S_△OBP构建二次函数，利用而成的性质解决问题．
（3）如图3中，ED′恰好将△O′D′B′分为面积线段的两部分时有两种情形．①若O′E=2EB′，设D′（m，m+1），则O′（m，m），E（m+2，m），因为点E在抛物线上，列出方程即可，②若2O′E=EB′，设D′（m，m+1）则O′（m，m），E（m+1，m），点E在抛物线上，列出方程即可．平移的距离等于$\sqrt{2}$m．

解答 解：（1）如图1中，

∵直线y=x+1经过点A，
∴A（-1，0），
∵抛物线的对称轴x=1，
∴B（3，0），
把A（-1，0），B（3，0）代入y=ax²+bx-3得$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．

（2）如图2中，连接OP．设P（t，t²-2t-3）．

S=S_△BOD+S_△OCP+S_△OBP=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$×3×t+$\frac{1}{2}$×3×（-t²+2t+3）=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}t$+6=-$\frac{3}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴当t=$\frac{3}{2}$时，S有最大值，最大值为$\frac{75}{8}$．

（3）如图3中，ED′恰好将△O′D′B′分为面积线段的两部分时有两种情形．

①若O′E=2EB′，设D′（m，m+1），则O′（m，m），E（m+2，m），
∵点E在抛物线上，
∴m=（m+2）²-2（m+2）-3，
解得m=$\frac{-1±\sqrt{13}}{2}$，
②若2O′E=EB′，设D′（m，m+1）则O′（m，m），E（m+1，m），
∵点E在抛物线上，
∴m=（m+1）²-2（m+1）-3，
解得m=$\frac{1±\sqrt{17}}{2}$，
$\sqrt{2}$×$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$=$\frac{\sqrt{26}-\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$×$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$=$\frac{\sqrt{26}+\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$×$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{34}}{2}$，$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$=$\frac{\sqrt{34}-\sqrt{2}}{2}$
综上所述，平移的距离为$\frac{\sqrt{26}±\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{34}±\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、平移变换、最值问题等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．