Question

9．如图，一个4×2的长方形可以用3种不同的方式分割成2或5或8个小正方形，

（1）一个3×2的长方形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是3或6；
（2）一个5×2的长方形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是4或7或10；
（3）一个n×2的长方形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是2n；小正方形的个数最少是n为偶数时有$\frac{n}{2}$个，n为奇数时有$\frac{n+3}{2}$个；（直接填写结果）
（4）一个6×3的长方形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是2或7或9或10或12或15或18．

Answer 1

分析 （1）一个3×2的矩形可以是1个2×2和2个1×1或6个1×1的；
（2）一个5×2的矩形可以是2个2×2和2个1×1或1个2×2和6个1×1或10个1×1的；
（3）一个n×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形都是1×1的小正方形的个数最多，分奇偶性讨论小正方形的个数最少的情况；
（4）由于要分成正方形，根据正方形的边长相等，分解的时候必须出现完全平方数，且边长不能大于原长方形的短边2，据此分解可得．

解答 解：（1）如图，

一个3×2的长方形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是3或6，
故答案为：3或6；

（2）如图，

一个5×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是4或7或10，
故答案为：4或7或10；

（3）一个n×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是 2n；小正方形的个数最少是 ①n为偶数，有$\frac{n}{2}$个；②n为奇数，有$\frac{n+3}{2}$个；
故答案为：2n，n为偶数时有$\frac{n}{2}$个，n为奇数时有$\frac{n+3}{2}$个；

（4）∵18=9×2=9×1+4×1+1×5=9×1+1×9=4×3+1×6=4×2+1×10=4×1+1×14=1×18．
∴分割的正方形的个数可能是2个，1+1+5=7个，1+9=10个，3+6=9个，2+10=12个，1+14=15个，18个．
即分割所得小正方形的个数可能是2个，7个，10个，9个，12个，15个，18个，
故答案为：2或7或9或10或12或15或18

点评 本题考查了图形的规律型：图形的变化，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．正方形可以是1×1的或2×2的或3×3的．