Question

【题目】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）点C的坐标为（3，0）．．（2）直线BC上不存在符合条件的点P，理由见解析（3）0≤|QA﹣QO|≤4．

【解析】

试题分析：（1）利用直线分别求出点A、B的坐标，然后利用勾股定理或相似三角形的性质求出线段OC的长即可得到点C的坐标，然后利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）利用平行四边形的性质求出符合条件的点P的坐标，然后代入直线BC的解析式为y=﹣2x+6检验即可；（3）当QA=QO时，|QA﹣QO|的值最小=0，当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA﹣QO|最大=4.

试题解析：（1）点C的坐标为（3，0）．

∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），

∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8）．

将x=0，y=6代入抛物线的解析式，得．

∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为．

（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，

设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．

直线BC的解析式为y=﹣2x+6.

解法一：

如图，取OA的中点E，

作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于点N．

则∠PEN=∠DEG，∠PNE=∠DGE，PE=DE．

可得△PEN≌△DEG．

由，可得E点的坐标为（4，0）．

NE=EG=，ON=OE﹣NE=，NP=DG=．

∴点P的坐标为．

∵x= 时，， ∴点P不在直线BC上．

∴直线BC上不存在符合条件的点P．

解法二：如图，作OP∥AD交直线BC于点P，

连接AP，作PM⊥x轴于点M．

∵OP∥AD，

∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴，

即． 解得． 经检验是原方程的解．

此时点P的坐标为．

但此时，OM＜GA．

∵，

∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，

∴直线BC上不存在符合条件的点P；

（3）|QA﹣QO|的取值范围是．

当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点K处），

此时OK=AK，则|QA﹣QO|=0，

当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA﹣QO|最大，

直线AH的解析式为：y=﹣x+6，直线BC的解析式为：y=﹣2x+6，

联立可得：交点为（0，6），∴OQ=6，AQ=10，∴|QA﹣QO|=4，

∴|QA﹣QO|的取值范围是：0≤|QA﹣QO|≤4．