Question

16．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形；②线段BF的取值范围为3≤BF≤4；
③EC平分∠DCH；④当点H与点A重合时，EF=2$\sqrt{5}$
以上结论中，你认为正确的有①②④．（填序号）

Answer 1

分析 ①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；
②点H与点A重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出BF=4，然后写出BF的取值范围，判断出②正确；
③根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，判断出③错误；
④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．

解答 解：①∵FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF=FH，
∴四边形CFHE是菱形，
故①正确；
②点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8-x，
在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，
即4²+x²=（8-x）²，
解得x=3，
点G与点D重合时，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，
故②正确；
③∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，
故③错误；
过点F作FM⊥AD于M，
则ME=（8-3）-3=2，
由勾股定理得，
EF=$\sqrt{M{F}^{2}+M{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故④正确．
综上所述，结论正确的有①②④．
故答案为：①②④．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键．