Question

设a，b，c，d是正整数，a，b是方程x²-（d-c）x+cd的两个根．证明：存在边长是整数且面积为ab的直角三角形．

Answer 1

考点：根与系数的关系,因式分解的应用,三角形三边关系

专题：证明题

分析：首先利用根与系数的关系求得a+b=d-c，ab=cd．然后由三角形三边关系证得存在以（a+b），（a+c），（b+c）为边的三角形；然后由（a+c）²+（b+c）²=（a+b）²
推知该三角形是直角三角形，则：S=

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（a+c）（b+c）=

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[ab+c（a+b+c）]=

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（ab+cd）=ab．故边长为（a+b），（a+c），（b+c）的三角形符合题设要求．

解答：证明：由题设可知a+b=d-c，ab=cd．
∵a，b，c，d是正整数，
∴（a+b），（a+c），（b+c）任意两数之和大于第三个数，从而存在以（a+b），（a+c），（b+c）为边的三角形．
∵（a+c）²+（b+c）²
=a²+b²+2c²+2c（a+b）
=a²+b²+2cd
=a²+b²+2ab
=（a+b）²
∴这样的三角形是直角三角形，其直角边长为（a+c），（b+c），斜边长为（a+b），且该三角形的面积为：S=

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（a+c）（b+c）=

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2

[ab+c（a+b+c）]=

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（ab+cd）=ab．
故边长为（a+b），（a+c），（b+c）的三角形符合题设要求．

点评：本题综合考查了根与系数关系，因式分解的应用以及三角形三边关系．此题难度较大．