Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．Rt△OAB的斜边OA在x轴的正半轴上，点A的坐标为（2，0），点B在第一象限内，且OB=，∠OBA=90°．以边OB所在直线折叠Rt△OAB，使点A落在点C处．
（1）求证：△OAC为等边三角形；
（2）点D在x轴的正半轴上，且点D的坐标为（4，0）．点P为线段OC上一动点（点P不与点O重合），连接PA、PD．设PC=x，△PAD的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当x=时，过点A作AM⊥PD于点M，若k=，求证：二次函数y=-2x²-（7k-3）x+k的图象关于y轴对称．

Answer 1

【答案】分析：（1）∵OA=2，OB=，∠OBA=90，解直角△OAB可知∠OAB=60°，由折叠可知∠C=∠OAB=60°，故△OAC为等边三角形；
（2）过点P作PE⊥OA于点E，以AD为底，PE为高，其中AD=2，在直角△OPE中，OP=2-x，∠POE=60°，解直角三角形可求PE，从而可表示面积；
（3）当x=时，可求线段PE、OE、ED及△PAD的面积，用勾股定理可求PD的长，用面积法可求AM长，从而可求k值，就能确定抛物线解析式了，也就能回答问题了．
解答：（1）证明：由题意可知OA=OC，
∵∠OBA=90°，OB=，A的坐标为（2，0）
∴sin∠OAB=
∴∠OAB=60°
∴△OAC为等边三角形；

（2）解：由（1）可知OC=OA=2，∠COA=60°
∵PC=x，
∴OP=2-x
过点P作PE⊥OA于点E，在Rt△POE中，sin∠POE=
即
∴PE=（2-x）=-x+
∴S_△PAD=AD•PE=（4-2）•PE=PE
∴y=-x+；

（3）证明：当x=时，即PC=
∴OP=
在Rt△POE中，PE=OP•sin∠POE=
OE=OP•cos∠POE=
∴DE=OD-OE=4-=
∴在Rt△PDE中，PD=
又∵S_△PAD=-x+=-•+=
∴S_△PAD=PD•AM=
∴AM=，
∴k==
∴y=-2x²-（7k-3）x+k=-2x²-（7×-3）x+×
∴y=-2x²+
∵此二次函数图象的对称轴是直线x=0，
∴此二次函数的图象关于y轴对称．
点评：本题考查等边三角形、函数解析式、三角形面积、二次函数图象的有关知识，属于动点与动线相结合的运动变化题目，由浅入深地设置了三个问题，是一道综合性题目，有一定难度．