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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知：在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，
    ∠ABE=∠DBM．
    （1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AE=
    		2
    MD；
    （2）如图2，当∠ABC=60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为
    AE=2MD
    AE=2MD
    ；
    （3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE=2
    		7
    ，求tan∠PCB和tan∠ACP的值．
    分析：（1）首先连接AD，由AB=AC，∠ABC=45°，易得AB=
    		2
    BD，又由∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，可证得△ABE∽△DBM，根据相似三角形的对应边成比例，即可得AE=
    		2
    MD；
    （2）由∠ABC=60°，即可求得MD=
    1
    2
    AE，继而可得AE=2MD；
    （3）首先连接AD，EP，根据题意易证得△ABC是等边三角形，△ABE∽△DBM，继而可证得△BEP为等边三角形，然后在Rt△AEB中，利用勾股定理即可求得BE的长，然后利用三角函数的性质，即可求得tan∠PCB和tan∠ACP的值．
    解答：解：（1）证明：如图1，连接AD．
    ∵AB=AC，BD=CD，
    ∴AD⊥BC．
    又∵∠ABC=45°，
    ∴BD=AB•cos∠ABC，
    即AB=
    		2
    BD．…（1分）
    ∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
    ∴△ABE∽△DBM．…（2分）
    ∴
    AE
    DM
    =
    AB
    DB
    =
    		2
    ，
    ∴AE=
    		2
    MD．…（3分）

    （2）∵cos∠ABC=cos60°=
    1
    2
    ，
    ∴MD=AE•cos∠ABC=AE•
    1
    2
    ，…（4分）
    ∴AE=2MD；…（5分）

    （3）如图2，连接AD，EP．
    ∵AB=AC，∠ABC=60°，
    ∴△ABC是等边三角形．…（6分）
    又∵D为BC的中点，
    ∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=
    1
    2
    AB．
    ∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
    ∴△ABE∽△DBM．…（7分）
    ∴
    BE
    BM
    =
    AB
    DB
    =2    ，∠AEB=∠DMB．
    ∴EB=2BM．
    又∵BM=MP，
    ∴EB=BP．
    ∵∠EBM=∠ABC=60°，
    ∴△BEP为等边三角形，…（8分）
    ∴EM⊥BP，
    ∴∠BMD=90°
    ∴∠AEB=90°
    在Rt△AEB中，AE=2
    		7
    ，AB=7，
    ∴BE=
    		AB2-AE2
    =
    		21
    ．
    ∴tan∠EAB=
    		3
    2
    ．…（9分）
    ∵D为BC中点，M为BP中点，
    ∴DM∥PC．
    ∴∠MDB=∠PCB，
    ∴∠EAB=∠PCB．
    ∴tan∠PCB=
    		3
    2
    ．…（10分）
    在Rt△ABD中，AD=AB•sin∠ABD=
    7
    		3
    2
    ，
    在Rt△NDC中，ND=DC•tan∠NCD=
    7
    		3
    4
    ，
    ∴NA=AD-ND=
    7
    		3
    4
    ．…（11分）
    过N作NH⊥AC，垂足为H．
    在Rt△ANH中，NH=
    1
    2
    AN=
    7
    		3
    8
    ，AH=AN•cos∠NAH=
    21
    8
    ，
    ∴CH=AC-AH=
    35
    8
    ，
    ∴tan∠ACP=
    		3
    5
    ．…（12分）
    点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握转化思想与数形结合思想的应用．
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    25、已知：在△ABC中AB=AC，点D在CB的延长线上．
    求证：AD2-AB2=BD•CD．

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    精英家教网（1）化简：（a-
    1
    a
    ）÷
    a2-2a+1
    a
    ；
    （2）已知：在△ABC中，AB=AC．
    ①设△ABC的周长为7，BC=y，AB=x（2≤x≤3）．写出y关于x的函数关系式；
    ②如图，点D是线段BC上一点，连接AD，若∠B=∠BAD，求证：△BAC∽△BDA．

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    20、如图，已知，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点M，ME∥AB交BC于点E，MF∥AC交BC于点F．求证：△MEF的周长等于BC的长．

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    12、已知，在△ABC中，AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是
    x＞3
    ．

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    已知：在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，AE⊥BC，垂足为点E．∠B=38°，∠C=70°．
    ①求∠DAE的度数；
    ②试写出∠DAE与∠B、∠C之间的一般等量关系式（只写结论）

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