Question

14．在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，E为AB的中点，DE∥CB，∠ACB=90°，下面的结论中，正确的有①③④．①△BDE为等腰三角形，②∠AED=∠AOD，③AO•OC=DO•OB，④∠CAB=30°时，四边形BCDE为菱形．

Answer 1

分析 ①正确．可以通过证明∠EDB=∠EBD即可．
②错误．用反证法证明，推出不可能即可解决问题．
③正确．只要证明△AOD∽△BOC即可解决问题．
④正确．只要证明四边形BCDE是平行四边形，再证明ED=EB即可解决问题．

解答 解：∵DE∥CB，
∴∠EDB=∠CBD，
∵∠CBD=∠DBE，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=EB，
∴△BDE是等腰三角形，故①正确，
∵AE=EB=ED，
∴△ADB是直角三角形，
∴∠ADB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADO=∠OCB，∵∠AOD=∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∴$\frac{OD}{OC}$=$\frac{OA}{OB}$，
∴AO•OC=DO•OB，故③正确，
当∠CAB=30°时，易证BC=$\frac{1}{2}$AB=DE，∵DE∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，∵ED=EB，
∴四边形BCDE是菱形，故④正确，
不妨设∠AED=∠AOD，则易证∠EAF=∠FDO=∠EBD=∠CBD，可得∠CAB=30°，显然假设错误，故②错误，
故答案为①③④

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．