Question

8．如图在△ABC的边AB，AC的外侧分别作等边△ABC和等边△ACE，连接DC，BE，
（1）求证：DC=BE；
（2）若AB=3，BC=4，BE=5，请求出△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由三角形ABD与三角形ACE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为60°，利用等式的性质得到∠DAC=∠BAE，利用SAS可得出△DAC≌△BAE，得证；
（2）首先证明∠DBC=90°，推出∠ABC=30°，作AM⊥BC于M，则AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，根据S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•AM计算即可．

解答 （1）证明：∵△ABD和△ACE都为等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE．

（2）解：在Rt△DBC中，∵CD=BE=5，BC=4，BD=AB=3，
∴BD²+BC²=3²+4²=25，CD²=25，
∴BD²+BC²=CD²，
∴∠DBC=90°，
∵∠ABD=60°，
∴∠ABC=30°，
作AM⊥BC于M．
∴AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•AM=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{3}{2}$=3．

点评 此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．