如图,点A是△ABC和△ADE的公共顶点,∠BAC+∠DAE=180°,AB=k?AE,AC=k?AD,点M是DE的中点,直线AM交直线BC于点N.
⑴探究∠ANB与∠BAE的关系,并加以证明.
说明:如果你经过反复探索没解决问题,可以从下面①②中选取一个作为已知条件,再完成你的证明,选取①比选原题少得2分,选取②比选原题少得5分.
① 如图18,k=1;②如图19,AB=AC.
⑵若△ADE绕点A旋转,其他条件不变,则在旋转的过程中⑴的结论是否发生变化?如果没有发生变化,请写出一个可以推广的命题;如果有变化,请画出变化后的一个图形,并直接写出变化后∠ANB与∠BAE的关系.
(1)∠ANB+∠BAE=180º. ………………………………………………………1分
证明:(法一)如图1,延长AN到F,使MF=AM,连接DF、EF. ………………2分
∵点M是DE 的中点,∴DM=ME,
∴四边形ADFE是平行四边形 ,……………………………………………………3分
∴AD∥EF,AD=EF,
∴∠DAE+∠AEF =180º,
∵∠BAC+∠DAE=180º,
∴∠BAC=∠AEF , …………………………………………………………………4分
∵AB=kAE,AC=kAD,
∴,
∴………………………………………6分
∴△ABC∽△EAF
∴∠B=∠EAF …………………………………8分
∵∠ANB+∠B+∠BAF =180º
∴∠ANB+∠EAF+∠BAF =180º
即∠ANB+∠BAE=180º,………………………………………………………10分
(法二)如图2,延长DA到F,使AF=AD,连接EF.……………………2分
∵∠BAC+∠DAE=180º,∠DAE +∠EAF =180º,
∴∠BAC=∠EAF,………………………………………………………………3分
∵AB=kAE,AC=kAD,
∴,
∴, ………………………………………4分
∴△ABC∽△AEF, …………………………………5分
∴∠B=∠AEF,………………………………………6分
∵点M是DE 的中点,∴DM=ME,
又∵AF=AD,
∴AM是△DEF的中位线,
∴AM∥EF,…………………………………………7分
∴∠NAE=∠AEF,
∴∠B=∠NAE, ……………………………………8分
∵∠ANB+∠B+∠BAN=180º,
∴∠ANB+∠NAE+∠BAN =180º,
即∠ANB+∠BAE=180º. …………………………10分
(2)变化.如图3(仅供参考),∠ANB=∠BAE.(图和结论各1分)………………12分
选取(),如图4.
证明:延长AM到F,使MF=AM,连接DF、EF.
……………………………………………………2分
∵点M是DE的中点,∴DM=ME
∴四边形ADFE是平行四边形, …………………4分
∴AD∥FE,AD=EF,
∴∠DAE+∠AEF =180º,
∵∠BAC+∠DAE=180º,
∴∠BAC=∠DAE, ………………………………6分
∵AB=kAE,AC=kAD,,
∴AB=AE ,AC=AD,
∴AC=EF,………………………………………………………………………………7分
∴△ABC≌△EAF,
∴∠B=∠EAF, ……………………………………………………………………8分
∵∠ANB+∠B+∠BAF=180º,
∴∠ANB+∠EAF+∠BAF=180º,
即∠ANB+∠BAE=180º. ……………………………………………………………10分
选取(),如图5.
证明:∵AB=AC,
∴∠B=(180º-∠BAC),…………………………………………………………3分
∵∠BAC+∠DAE=180º,
∴∠DAE=180º-∠BAC,
∴∠B=∠DAE,
∵AB=kAE,AC=kAD,
∴AE=AD,
∵AM是△ADE的中线,AB=AC,
∴∠EAM=∠DAE,
∴∠B=∠EAM,……………………………………………………………………4分
∵∠ANB+∠B+∠BAM=180º,
∴∠ANB+∠EAM +∠BAM=180º,
即∠ANB+∠BAE=180º.…………………………………………………………5分
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