Question

2．已知一个△ABC，三条中线长度分别为5，12，13，求△ABC的面积是多少？

Answer 1

分析 如图，首先把△BDG绕点D作中心对称变换得到△CDM，然后根据重心的性质可以分别得到CG=$\frac{2}{3}$CF=$\frac{10}{3}$，CM=BG=$\frac{2}{3}$BE=8，GM=2GD=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{26}{3}$，由此利用勾股定理的逆定理可以证明△GCM是直角三角形，即∠GCM=90°，再利用三角形的面积公式求出S_△GCM，最后可以得到S_△BGC=S_△GCM=$\frac{40}{3}$，而S_△ABC=3S_△BGC，由此即可求解．

解答 解：如图，把△BDG绕点D作中心对称变换成△CDM，
∴CG=$\frac{2}{3}$CF=$\frac{10}{3}$，CM=BG=$\frac{2}{3}$BE=8，GM=2GD=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{26}{3}$，
∵CG²+CM²=$\frac{676}{9}$，GM²=$\frac{676}{9}$，
∴CG²+CM²=GM²
∴△GCM是直角三角形，即∠GCM=90°，
∴S_△GCM=$\frac{1}{2}$CG•CM=$\frac{1}{2}$×$\frac{10}{3}$×8=$\frac{40}{3}$，
∴S_△BGC=S_△GCM=$\frac{40}{3}$，
∴S_△ABC=3S_△BGC=40．

点评 此题分别考查了旋转的性质、直角三角形的性质、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，其中对于中线问题一般可以尝试中心变换，此题把三条中线的有关线段集中在一起，构造出一个规则图形--直角三角形．