Question

【题目】已知关于x的方程x2﹣（m+n+1）x+m（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．

（1）试用含α、β的代数式表示m和n；

（2）求证：α≤1≤β；

（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2）、B（，1）、C（1，1），问是否存在点P，使m+n=？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=αβ，n=α+β﹣αβ﹣1；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】分析：(1)、根据韦达定理即可得出答案；(2)、首先求出（1﹣α）（1﹣β）的值为－n，从而根据n的取值范围得出答案；(3)、先根据条件确定动点所在的边，然后再确定点的坐标．

详解：解：（1）∵α、β为方程x2﹣（m+n+1）x+m=0（n≥0）的两个实数根，

∴判别式△=（m+n+1）2﹣4n=（m+n﹣1）2+4n≥0，且α+β=m+n+1，αβ=m，

于是m=αβ，n=α+β﹣m﹣1=α+β﹣αβ﹣1；

（2）∵（1﹣α）（1﹣β）=1﹣（α+β）+αβ=﹣n≤0（n≥0），又α≤β，∴α≤1≤β；

（3）若使m+n成立，只需α+β=m+n+1=，

①当点M（α，β）在BC边上运动时，由B（，1），C（1，1），得≤α≤1，β=1，

而α=﹣β=﹣1=＞1，故在BC边上存在满足条件的点，其坐标为（，1）所以不符合题意舍去； 即在BC边上不存在满足条件的点

②当点M（α，β）在AC边上运动时，由A（1，2），C（1，1），得α=1，1≤β≤2，

此时β=﹣α=﹣1=，又因为1＜＜2，故在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1， ）；

③当点M（α，β）在AB边上运动时，由A（1，2），B（，1），得≤α≤1，1≤β≤2，

由平面几何知识得， ，于是β=2α，由，解得α=，β=，

又因为＜＜1，1＜＜2，故在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（， ）．

综上所述，当点M（α，β）在△ABC的三条边上运动时，存在点（1， ）和点（， ），使m+n=成立．