Question

已知抛物线y_n＝－(x－a_n)²＋a_n(n为正整数，且0＜a₁＜a₂＜…＜a_n)与x轴的交点为A_n－1(,0)和A_n(b_n,0)．当n＝1时，第1条抛物线y₁＝－(x－a₁)²＋a₁与x轴的交点为A₀(0,0)和A₁(b₁,0)，其他依此类推．

(1) 求a₁、b₁的值及抛物线y₂的解析式；
(2) 抛物线y₃的顶点坐标为(____，___)；依此类推第n条抛物线y_n的顶点坐标为(_____，_____)(用含n的式子表示)；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是_____________；
(3) 探究下列结论：
①若用A_n－1 A_n表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长，则A₀A_{1=______，}A_n－1 A_{n=____________}；
②是否存在经过点A₁(b₁,0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）a₁=1，b₁=2，y₂=-（x-4）²+4；（2）（9，9），（n²，n²），y=x；（3）2，2n, y=x-2．

试题分析：（1）因为点A₀（0，0）在抛物线y₁=-（x-a₁）²+a₁上，可求得a₁=1，则y₁=-（x-1）²+1；令y₁=0，求得A₁（2，0），b₁=2；再由点A₁（2，0）在抛物线y₂=-（x-a₂）²+a₂上，求得a₂=4，y₂=-（x-4）²+4．
（2）求得y₁的顶点坐标（1，1），y₂的顶点坐标（4，4），y₃的顶点坐标（9，9），依此类推，y_n的顶点坐标为（n²，n²）．因为所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，所以顶点坐标满足的函数关系式是：y=x．
（3）①由A₀（0，0），A₁（2，0），求得A₀A₁=2；y_n=-（x-n²）²+n²，令y_n=0，求得A_n-1（n²-n，0），A_n（n²+n，0），所以A_n-1A_n=（n²+n）-（n²-n）=2n；
②设直线解析式为：y=kx-2k，设直线y=kx-2k与抛物线y_n=-（x-n²）²+n²交于E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）两点，联立两式得一元二次方程，得到x₁+x₂=2n²-k，x₁•x₂=n⁴-n²-2k．然后作辅助线，构造直角三角形，求出EF²的表述式为：EF²=（k²+1）[4n²•（1-k）+k²+8k]，可见当k=1时，EF²=18为定值．所以满足条件的直线为：y=x-2．
试题解析：（1）∵当n=1时，第1条抛物线y₁=-（x-a₁）²+a₁与x轴的交点为A₀（0，0），
∴0=-（0-a₁）²+a₁，解得a₁=1或a₁=0．
由已知a₁＞0，∴a₁=1，
∴y₁=-（x-1）²+1．
令y₁=0，即-（x-1）²+1=0，解得x=0或x=2，
∴A₁（2，0），b₁=2．
由题意，当n=2时，第2条抛物线y₂=-（x-a₂）²+a₂经过点A₁（2，0），
∴0=-（2-a₂）²+a₂，解得a₂=1或a₂=4，
∵a₁=1，且已知a₂＞a₁，
∴a₂=4，
∴y₂=-（x-4）²+4．
∴a₁=1，b₁=2，y₂=-（x-4）²+4．
（2）抛物线y₂=-（x-4）²+4，令y₂=0，即-（x-4）²+4=0，解得x=2或x=6．
∵A₁（2，0），
∴A₂（6，0）．
由题意，当n=3时，第3条抛物线y₃=-（x-a₃）²+a₃经过点A₂（6，0），
∴0=-（6-a₃）²+a₃，解得a₃=4或a₃=9．
∵a₂=4，且已知a₃＞a₂，
∴a₃=9，
∴y₃=-（x-9）²+9．
∴y₃的顶点坐标为（9，9）．
由y₁的顶点坐标（1，1），y₂的顶点坐标（4，4），y₃的顶点坐标（9，9），
依此类推，y_n的顶点坐标为（n²，n²）．
∵所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，
∴顶点坐标满足的函数关系式是：y=x．

（3）①∵A₀（0，0），A₁（2，0），
∴A₀A₁=2．y_n=-（x-n²）²+n²，令y_n=0，即-（x-n²）²+n²=0，
解得x=n²+n或x=n²-n，
∴A_n-1（n²-n，0），A_n（n²+n，0），即A_n-1A_n=（n²+n）-（n²-n）=2n．
②存在．
设过点（2，0）的直线解析式为y=kx+b，则有：0=2k+b，得b=-2k，
∴y=kx-2k．
设直线y=kx-2k与抛物线y_n=-（x-n²）²+n²交于E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）两点，
联立两式得：kx-2k=-（x-n²）²+n²，整理得：x²+（k-2n²）x+n⁴-n²-2k=0，
∴x₁+x₂=2n²-k，x₁•x₂=n⁴-n²-2k．
过点F作FG⊥x轴，过点E作EG⊥FG于点G，则EG=x₂-x₁，
FG=y₂-y₁=[-（x₂-n²）²+n²]-[-（x₁-n²）²+n²]=（x₁+x₂-2n²）（x₁-x₂）=k（x₂-x₁）．
在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF²=EG²+FG²，
即：EF²=（x₂-x₁）²+[k（x₂-x₁）]²=（k²+1）（x₂-x₁）²=（k²+1）[（x₁+x₂）²-4x₁•x₂]，
将x₁+x₂=2n²-k，x₁•x₂=n⁴-n²-2k代入，整理得：EF²=（k²+1）[4n²•（1-k）+k²+8k]，
当k=1时，EF²=（1+1）（1+8）=18，
∴EF=3为定值，
∴k=1满足条件，此时直线解析式为y=x-2．
∴存在满足条件的直线，该直线的解析式为y=x-2．
考点: 二次函数综合题.