Question

18．如图，在同一平面上，等腰直角三角形AOB的与等腰三角形ABC拼在一起，使Rt△AOB斜边AB与△ABC的底边 AB完全重合，且顶点O，C分别在AB的两旁，连接OC与AB相交于点G，∠AOB=90°，OA=OB=3$\sqrt{2}$，AC=BC=5．平行于线段AB的直线EF从O出发以每秒1个单位的速度沿OC方向匀速平移到C，分别交OA，OB（或AC，BC）于E、F，设直线EF移动的时间为t秒．
（1）填空：∠AGO=90°，OC=7；
（2）如图，在四边形AOBC的内部能否截出以EF为边的面积最大的矩形EFDH？（顶点E，F，D，H分别在线段AO，OB，BC，CA上，且不与四边形AOBC的顶点重合） 若能，求出矩形EFDH的最大面积，若不能，请说明理由．
（3）设线段OC的中点为Q，在整个运动过程中，求当t为何值时，△EFQ为直角三角形．

Answer 1

分析 （1）根据线段垂直平分线的判定得到OC是线段AB的垂直平分线，求出∠AGO，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质计算求出OC；
（2）根据相似三角形的性质分别求出EF、DF，根据矩形的面积公式和二次函数的最值的求法解答即可；
（3）分点P在线段OQ上和点P在线段CQ上两种情况，根据直角三角形的判定计算即可．

解答 解：（1）∵OA=OB，AC=BC，
∴OC是线段AB的垂直平分线，
∴∠AGO=90°，
∵∠AOB=90°，OA=OB=3$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=6，
∵AC=BC=5，AB=6，
∴CG=$\sqrt{B{C}^{2}-B{G}^{2}}$=4，
∵∠AOB=90°，BG=GA，
∴OG=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴OC=3+4=7，
故答案为：90°；7；
（2）∵EF∥AB，
∴△OEF∽△OAB，
∴$\frac{OP}{OG}$=$\frac{EF}{AB}$，即$\frac{t}{3}$=$\frac{EF}{6}$，
解得，EF=2t，
则HG=2t，BH=3-2t，
∵FD∥OC，
∴△BFD∽△BOC，
∴$\frac{BH}{BG}$=$\frac{DF}{OC}$，即$\frac{3-2t}{3}$=$\frac{DF}{7}$，
解得，DF=$\frac{21-14t}{3}$，
∴矩形EFDH的面积为：2t×$\frac{21-14t}{3}$=-$\frac{28}{3}$（x-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{21}{4}$，
∴矩形EFDH的最大面积为$\frac{21}{4}$；
（3）当点P在线段OQ上时，OP=$\frac{1}{2}$EF时，△EFQ为直角三角形，
即3.5-t=$\frac{1}{2}$×2t，
解得，t=$\frac{7}{4}$；
如图2，当点P在线段CQ上时，OP=$\frac{1}{2}$EF时，△EFQ为直角三角形，
∵EF∥AB，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{CP}{CG}$，即$\frac{EF}{6}$=$\frac{7-t}{4}$，
解得，EF=$\frac{21-3t}{2}$，
则t-$\frac{7}{2}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{21-3t}{2}$，
解得t=5，
综上所述，t=$\frac{7}{4}$或5时，△EFQ为直角三角形．

点评 本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的最值的求法，掌握到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及直角三角形的判定定理是解题的关键．