Question

【题目】已知，抛物线C1:y=- x2+mx+m+

（1）①当m=1时，抛物线与x轴的交点坐标为_______;②当m=2时，抛物线与x轴的交点坐标为________;

（2）①无论m取何值，抛物线经过定点P________;②随着m的取值的变化，顶点M（x，y）随之变化，y是x的函数，记为函数C2 ， 则函数C2的关系式为：________；

（3）如图，若抛物线C1与x轴仅有一个公共点时，①直接写出此时抛物线C1的函数关系式；②请在图中画出顶点M满足的函数C2的大致图象，在x轴上任取一点C，过点C作平行于y轴的直线l分别交C1、C2于点A、B，若△PAB为等腰直角三角形，求点C的坐标；

（4）二次函数的图象C2与y轴交于点N，连接PN，若二次函数的图象C1与线段PN有两个交点，直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，0）（3，0）；（﹣1，0）（5，0）；（2）（-1，0）； y= (x+1)；（3）点C的坐标为（1，0）或（-3，0）；（4）- ＜m≤0

【解析】

（1）①把m=1,y=0分别代入抛物线C1，得到一个一元二次方程，解方程即可求出交点横坐标。其纵坐标都为0；②把①中的m=1改为m=2,方法相同；

（2）把二次函数的C1∴化为顶点式即可求得顶点为：M（m，(m+1)2）∴函数C2的关系式为 y= (x+1)2；

（3）①当抛物线C1与x轴仅有一个公共点时，即顶点在x轴上，此时M的纵坐标为0，由此可得 则m， 把m代入C1解析式即可；

②分析C1、C2 的解析式可以发现，这两个函数关于x轴对称，可据此画函数的图像；

（4） 若二次函数的图象C1与线段PN有两个交点，则其对称轴与线段PN一定有交点，据此即可求出答案。

（1）①把m=1,y=0分别代入抛物线C1，得到一个一元二次方程，解方程即可求出交点横坐标。其纵坐标都为0；②把①中的m=1改为m=2,方法相同；

（2）把二次函数的C1∴化为顶点式即可求得顶点为：M（m，(m+1)2）∴函数C2的关系式为 y= (x+1)2；

（3）解：如图所示，

∵抛物线C1：y=- x2+mx+m+ 顶点在x轴，则m=-1，

∴抛物线C1：y=- x2-x- =- （x+1）2 ， P（-1，0），由②知，函数C2的关系式为y= (x+1)2；∴抛物线C1与C2关于x轴对称，∵△PAB为等腰直角三角形，∴直角顶点只能是点P ， 且PC=BC=AC ， 设B（n ， (n+1)2），∴C（n ， 0），BC= (n+1)2 ， ∴PC=|n+1|，∴ (n+1)2=|n+1|，∴n=-1（舍）或n=1或n=-3．∴点C的坐标为（1，0）或（-3，0）

（4）解：- ＜m≤0

解：（1）①（﹣1，0）（3，0）；②（﹣1，0）（5，0）；（2）①∵抛物线C1：y=- x2+mx+m+ =- x2+m（x+1）+ ．

∴当x+1=0时，无论m为何值，抛物线经过定点P ， ∴x=-1，y=0，∴定点P（-1，0），故答案为：-1，0；

②抛物线C1：y=- x2+mx+m+ =- (x-m)2+ (m+1)2 ．

∴M（m， (m+1)2），∴函数C2的关系式为y= (x+1)2；故答案为：y= (x+1)2