Question

若a＜b＜c，求证方程：

1

x-a

+

1

x-b

+

1

x-c

=0，一定有两个实数根，且一个在a与b之间，一个在b与c之间．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式,解分式方程

专题：数形结合

分析：（1）将分式方程化为整式方程（一元二次方程），利用根的判别式解答；
（2）将方程问题转化为二次函数的问题．根据y值的大小，判断出与x轴交点的范围．

解答：解：

1

x-a

+

1

x-b

+

1

x-c

=0，
两边同时乘以（x-a）（x-b）（x-c）得，
（x-b）（x-c）+（x-a）（x-c）+（x-a）（x-b）=0，
整理得，3x²-（2a+2b+2c）x+bc+ac+ab=0，
△=（2a+2b+2c）²-4×3（bc+ac+ab）
=2（2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc）
=2[（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²]
∵a＜b＜c，
∴a-c≠0，a-b≠0，b-c≠0，
∴△=2[（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²]＞0．
∴方程一定有两个不相等的实数根．
当x=a时，y_a=（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）+（x-a）（x-b）=（a-b）（a-c），
而a＜b＜c，
∴a-b＜0，a-c＜0，
∴（a-b）（a-c）＞0，
当x=b时，y_b=（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）+（x-a）（x-b）=（b-c）（b-a），
而a＜b＜c，
∴b-a＞0，b-c＜0，
∴（b-c）（b-a）＜0，
当x=c时，y_c=（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）+（x-a）（x-b）=（c-a）（c-b），
而a＜b＜c，
∴c-a＞0，c-b＞0，
∴（c-a）（c-b）＞0，
∴y_a＞0，y_b＜0，y_c＞0，
∴二次方程（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）+（x-a）（x-b）=0的一个根在a，b之间，另一个根在b，c之间．

点评：此题考查了转化思想和数形结合思想，将分式方程转化为整式方程，再利用整式方程的性质解答是常用的方法；而通过数形结合将方程问题转化为函数问题，可提供简洁直观的解答方法．