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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,CB=12,AD是△ABC的角平分线,过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E,连接DE。

(1)求证:AC=AE;

(2)求△ACD外接圆的半径。

 

【答案】

(1)见解析;(2)

【解析】

试题分析:(1)由∠ACB=90°可得AD为直径,再根据角平分线的性质可得弧CD=弧DE,即得弧AC=弧AE,从而得到结果;

(2)先根据勾股定理求得AB的长,即可求得BE的长,根据圆周角定理可得∠AED=∠ACB=90°,再结合公共角∠B即可证得△ABC∽△DBE,根据相似三角形的性质即可求得结果.

(1)∵∠ACB=90°

∴AD为直径     

又∵AD是△ABC的角平分线

∴弧CD=弧DE

∴弧AC=弧AE

∴AC=AE;

(2)∵AC=5,CB=12,

∴AB=

∵AE=AC=5

∴BE=AB-AE=13-5=8

∵AD是直径

∴∠AED=∠ACB=90°

∵∠B=∠B

∴△ABC∽△DBE

∴ DE=

∴AD=

∴△ACD外接圆的半径为.

考点:角平分线的性质,勾股定理,圆周角定理,相似三角形的判定和性质

点评:相似三角形的判定和性质的应用是初中数学极为重要的知识,与各个知识点联系极为容易,因而是中考的热点,在各种题型中均有出现,尤其在压轴题中比较常见,难度较大,需特别注意.

 

练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

(2013•莆田质检)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,点E是AB上一点,以AE为直径的⊙O过点D,且交AC于点F.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若CD=6,AC=8,求AE.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,AD和BD分别是∠BAC和∠ABC的平分线,它们相交于点D,求点D到BC的距离.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,将三角板中一个30°角的顶点D放在AB边上移动,使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC、BC相交于点E、F,且使DE始终与AB垂直.
(1)画出符合条件的图形.连接EF后,写出与△ABC一定相似的三角形;
(2)设AD=x,CF=y.求y与x之间函数解析式,并写出函数的定义域;
(3)如果△CEF与△DEF相似,求AD的长.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,在Rt△ABC中,BD⊥AC,sinA=
3
5
,则cos∠CBD的值是(  )

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm,D、E分别为边AB、BC的中点,连接DE,点P从点A出发,沿折线AD-DE-EB运动,到点B停止.点P在AD上以
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cm/s的速度运动,在折线DE-EB上以1cm/s的速度运动.当点P与点A不重合时,过点P作PQ⊥AC于点Q,以PQ为边作正方形PQMN,使点M落在线段AC上.设点P的运动时间为t(s).
(1)当点P在线段DE上运动时,线段DP的长为
(t-2)
(t-2)
cm,(用含t的代数式表示).
(2)当点N落在AB边上时,求t的值.
(3)当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时,设五边形的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式.

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