Question

7．如图，抛物线y=ax²+bx-3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA．直线$y=-\frac{1}{3}x+1$与y轴交于点D．求∠DBC-∠CBE．

Answer 1

分析 先求出点D、点C的坐标，得出点B、A的坐标，求出抛物线的解析式，得出抛物线的顶点坐标，根据勾股定理求出BC、CE、BE，由勾股定理的逆定理证明△BCE为直角三角形，∠BCE=90°，由三角函数证出∠DBO=∠CBE，即可得出∠DBC-∠CBE=∠DBC-∠DBO=∠OBC=45°．

解答 解：将x=0代入y=$-\frac{1}{3}x+1$，y=1，
∴D（0，1），
将x=0代入y=ax²+bx-3得：y=-3，
∴C（0，-3），
∵OB=OC=3OA，
∴B（3，0），A（-1，0），∠OBC=45°，
对于直线y=$-\frac{1}{3}x+1$，
当y=0时，x=3，
∴直线y=$-\frac{1}{3}x+1$过点B．
将点C（0，-3）的坐标代入y=a（x+1）（x-3），
得：a=1，
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线y=x²-2x-3的顶点为E（1，-4）．
于是由勾股定理得：
BC=$3\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{2}$，BE=$2\sqrt{5}$．
∵BC²+CE²=BE²，
∴△BCE为直角三角形，∠BCE=90°，
因此tan∠CBE=$\frac{CE}{CB}$=$\frac{1}{3}$．
又tan∠DBO=$\frac{OD}{OB}=\frac{1}{3}$，
则∠DBO=∠CBE，
∴∠DBC-∠CBE=∠DBC-∠DBO=∠OBC=45°．

点评 本题考查了坐标与图形性质、抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线的解析式的求法及顶点坐标、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角函数；本题综合性强，有一定难度．