Question

（2013•绥化）如图，已知抛物线y=

1

a

（x-2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（-2，-2），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．

Answer 1

分析：（1）将M坐标代入抛物线解析式求出a的值即可；
（2）①求出的a代入确定出抛物线解析式，令y=0求出x的值，确定出B与C坐标，令x=0求出y的值，确定出E坐标，进而得出BC与OE的长，即可求出三角形BCE的面积；②根据抛物线解析式求出对称轴方程为直线x=-1，根据C与B关于对称轴对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，设直线BE解析式为y=kx+b，将B与E坐标代入求出k与b的值，确定出直线BE解析式，将x=-1代入直线BE解析式求出y的值，即可确定出H的坐标．

解答：解：（1）将M（-2，-2）代入抛物线解析式得：-2=

1

a

（-2-2）（-2+a），
解得：a=4；

（2）①由（1）抛物线解析式y=

1

4

（x-2）（x+4），
当y=0时，得：0=

1

4

（x-2）（x+4），
解得：x₁=2，x₂=-4，
∵点B在点C的左侧，
∴B（-4，0），C（2，0），
当x=0时，得：y=-2，即E（0，-2），
∴S_△BCE=

1

2

×6×2=6；
②由抛物线解析式y=

1

4

（x-2）（x+4），得对称轴为直线x=-1，
根据C与B关于抛物线对称轴直线x=-1对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，
设直线BE解析式为y=kx+b，
将B（-4，0）与E（0，-2）代入得：

-4k+b=0 b=-2

，
解得：

k=- 1 2 b=-2

，
∴直线BE解析式为y=-

1

2

x-2，
将x=-1代入得：y=

1

2

-2=-

3

2

，
则H（-1，-

3

2

）．

点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，对称的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．