Question

6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx-$\frac{4}{5}$经过点P（1，-$\frac{4}{5}$）和Q（3，$\frac{8}{5}$）．
（1）求抛物线的表达式，并写出顶点坐标；
（2）平移这条抛物线，设抛物线平移后抛物线的顶点为D，交y轴于点C，交x轴于A，B两点，且满足∠CAB=120°，问是否存在△ABC相似于△DAB？若存在，请求出此时抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求抛物线的解析式，然后把一般式化为顶点式得到抛物线的顶点坐标；
（2）如图，点A、B都在y轴右侧，利用∠CAB=120°得到∠OAC=60°，设OA=m，则OC=$\sqrt{3}$m，CA=2m，利用抛物线的对称性得到△DAB为等腰三角形，所以△ACB为等腰三角形，则AB=AC=2m，设交点式y=$\frac{2}{5}$（x-m）（x-3m），即y=$\frac{2}{5}$x²-$\frac{8}{5}$mx+$\frac{6}{5}$m²，利用m²=$\sqrt{3}$解得m=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，从而得到此时抛物线解析式，当点A、B都在y轴左侧，同样可得抛物线解析式．

解答 解：（1）把P（1，-$\frac{4}{5}$）和Q（3，$\frac{8}{5}$）代入y=ax²+bx-$\frac{4}{5}$得$\left\{\begin{array}{l}{a+b-\frac{4}{5}=-\frac{4}{5}}\\{9a+3b-\frac{4}{5}=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{5}}\\{b=-\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，
所以抛物线的解析式为y=$\frac{2}{5}$x²-$\frac{2}{5}$x-$\frac{4}{5}$，
因为y=-$\frac{2}{5}$（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{10}$，
所以抛物线的顶点坐标为（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{10}$）；

（2）存在．
如图，点A、B都在y轴右侧，
∵∠CAB=120°，
∴∠OAC=60°，
∴OC=2OA，
设OA=m，则OC=$\sqrt{3}$m，CA=2m，
∵△DAB为等腰三角形，
∴当△ABC相似于△DAB时，△ACB为等腰三角形，
∴AB=AC=2m，
∴A（m，0），B（3m，0），
设平移的抛物线解析式为y=$\frac{2}{5}$（x-m）（x-3m），即y=$\frac{2}{5}$x²-$\frac{8}{5}$mx+$\frac{6}{5}$m²，
则$\frac{6}{5}$m²=$\sqrt{3}$，解得m=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，
此时抛物线解析式为y=$\frac{2}{5}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{5}{2}$，
当点A、B都在y轴左侧，同样可得m=-$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，
此时抛物线解析式为y=$\frac{2}{5}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{5}{2}$，
综上所述，满足条件的抛物线解析式为y=$\frac{2}{5}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{5}{2}$或y=$\frac{2}{5}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的性质；会利用待定系数法求抛物线解析式．