Question

17．如图1，已知⊙O的半径为1，∠NAM的正切值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，AM是⊙O的切线，⊙O从点A开始沿射线AM的方向滚动，其接触点为点A′（即点A′始终是切点）．
（1）sin∠∠NAM=$\frac{1}{3}$，cos∠NAM=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$；
（2）①如图1，当⊙O的初始位置时，求圆心O到射线AN的距离；
②如图②，当⊙O的圆心在射线AN上时，AA′=2$\sqrt{2}$；
（3）在⊙O的滚动过程，设点A′与点A之间距离为x，圆心O到射线AN的距离为y，求y与x之间的关系，并探究当x分别在什么范围内时，⊙O与射线AN相交、相切、相离？

Answer 1

分析 （1）依据锐角三角函数的定义可求得sin∠NAM、cos∠NAM的值；
（2）①过点O作OB⊥AN，垂足为B．依据同角的余角相等可证明∠AOB=∠NAM，然后依据锐角三角函数的定义可求得OB的长；②连接OA′．由切线的性质可知∠OA′A=90°，接下来，依据锐角三角函数的定义可求得AA′的长；
（3）当0＜x＜2$\sqrt{2}$时，如图3所示：连接OA′，过点O作OH⊥AN，垂足为H．在Rt△OGH中，在Rt△AA′G中，依据锐角三角函数的定义可得到OG=$\frac{3\sqrt{2}y}{4}$、GA′=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x，然后依据OG+GA′=1可得到y与x之间的函数关系式；当x＞2$\sqrt{2}$时，如图2所示，过点O作OH⊥AN，垂足为H，连接A′O并延长AN与点G．依据锐角三角函数的定义可知OG=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$y，GA′=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x，由GA′-OG=1可得到y与x之间的函数关系式；接下来，依据d和r的关系可求得当直线AN与⊙O相切，相交、相离时x的取值范围．

解答 解：（1）∵∠NAM的正切值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴sin∠NAM=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{{4}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}$=$\frac{1}{3}$，cos∠NAM=$\frac{4}{\sqrt{{4}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$；$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（2）①如图1所示：过点O作OB⊥AN，垂足为B．

∵AM是⊙O的切线，
∴OA⊥AM．
∴∠OAN+∠NAM=90°．
∵OB⊥AN，
∴∠OAN+∠AOB=90°．
∴∠AOB=∠NAM．
∴$\frac{OB}{OA}$=cos∠NAM=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∵OA=1，
∴OB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴圆心O到射线AN的距离为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
②如图2所示：连接OA′．

∵⊙O与AM相切，
∴OA′⊥AM．
∴∠OA′A=90°．
∴$\frac{OA′}{AA′}$=$\frac{1}{AA′}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴AA′=2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．
（3）当0＜x＜2$\sqrt{2}$时，如图3所示：连接OA′，过点O作OH⊥AN，垂足为H．

∵在Rt△OGH中，cos∠O=$\frac{OH}{OG}$=$\frac{y}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$，
∴OG=$\frac{3\sqrt{2}y}{4}$．
∵在Rt△AA′G中，tan∠A=$\frac{GA′}{AA′}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴GA′=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x．
∵OG+GA′=1，
∴$\frac{3\sqrt{2}}{4}$y-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x=1，即y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
又∵当x=0时，y=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，当x=2$\sqrt{2}$时，y=0，
∴当0≤x≤2$\sqrt{2}$时，y与x之间的函数关系式为y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
②当x＞2$\sqrt{2}$时，如图2所示，过点O作OH⊥AN，垂足为H，连接A′O并延长AN与点G．

∵∠HGO=∠AGA′，∠GA′A=∠OHD=90°，
∴∠HOG=∠NAM．
∴OG=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$y，GA′=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x．
由GA′-OG=1得，$\frac{\sqrt{2}}{4}$x-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$y=1，即y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
综上所述，y与x的函数关系式为y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}x+\frac{2\sqrt{2}}{3}（0≤x≤2\sqrt{2}）}\\{\frac{1}{3}x-\frac{2\sqrt{2}}{3}（x＞2\sqrt{2}）}\end{array}\right.$．
∵当y=1时，⊙O与AN相切，此时$\frac{1}{3}$x-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=1，解得x=3+2$\sqrt{2}$，
∴当0≤x＜3+2$\sqrt{2}$时，⊙O与AN相交，当x=3+2$\sqrt{2}$时，⊙O与AN相切；当x＞3+2$\sqrt{2}$时，⊙O与AN相离．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了切线的性质、直线和圆的位置关系、锐角三角函数的定义，依据OA′=1列出y与x的函数关系式是解题的关键．