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(2009•永嘉县二模)如图,Rt△ABC的两条直角边AC=3,BC=4,点P是边BC上的一动点(P不与B重合),以P为圆心作⊙P与BA相切于点M.设CP=x,⊙P的半径为y.
(1)求证:△BPM∽△BAC;
(2)求y与x的函数关系式,并确定当x在什么范围内取值时,⊙P与AC所在直线相离;
(3)当点P从点C向点B移动时,是否存在这样的⊙P,使得它与△ABC的外接圆相内切?若存在,求出x、y的值;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)由∠B=∠B,∠C=∠BMP=90°证明;
(2)勾股定理求出AB的长,相似三角形求出y与x的函数关系式,求出取值范围;
(3)根据内切圆的特点,求出x,y的值.
解答:(1)证明:∵AB切⊙P于点M,
∴∠PMB=∠C=90°.
又∵∠B=∠B,
∴△BPM∽△BAC.

(2)解:∵AC=3,BC=4,∠C=90°,
∴AB=5.


(0≤x<4).
当x>y时,⊙P与AC所在的直线相离.
即x>
得x>
∴当<x<4时,⊙P与AC所在的直线相离.

(3)解:设存在符合条件的⊙P.
得OP=2.5-y,而BM=
∴OM=


∴y1=0(不合题意舍去),y2=
时,x=
点评:本题涉及的知识点较多,综合考查了相似三角形的应用和待定系数法求一次函数解析式.
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款式成本(元/个)售价(元/个)
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(2)求y与x的函数关系式,并确定当x在什么范围内取值时,⊙P与AC所在直线相离;
(3)当点P从点C向点B移动时,是否存在这样的⊙P,使得它与△ABC的外接圆相内切?若存在,求出x、y的值;若不存在,请说明理由.

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