Question

已知：a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边，a＞b，关于x的方程x²-2（a+b）x+2ab+c²=0有两相等的实数根，且sin∠A：sin∠B=4：3，若△ABC外接圆面积为25π，求△ABC的周长．

Answer 1

分析：根据一元二次方程有两相等的实根知△=0，得出关于a，b，c的勾股算式，知道C为斜边a，b为直角边，由△ABC的外接圆面积知道C的长；再根据勾股定理和正切余切的关系式求出b，c的长，再求出△ABC的周长．

解答：解：关于x的方程x²-2（a+b）x+2ab+c²=0有两相等的实数根，
∴方程的根的判别式为0，
即4（a+b）²-4（2ab+c²）=0，
整理得a²+b²=c²，
∴△ABC为直角三角形且∠C为直角．
又sin∠A：sin∠B=4：3，
可设a=4k，b=3k，c=5k；
因为Rt△ABC的斜边为外接圆直径，
∴π•(

5

2

k)2=25π，
解得k=2，
∴a=8，b=6，c=10；
即△ABC的周长为8+6+10=24．

点评：本题主要考查根的判别式，勾股定理及三角形外接圆的特点．