Question

18．如图，在四边形ABCD中，AB=4$\sqrt{3}$，∠DAB=90°，∠B=60°，AC⊥BC，
（1）求AC的长；
（2）若AD=2，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）在直角三角形ABC中，由∠B的度数求出∠BAC=30°，利用含30度直角三角形的性质求出BC的长，利用勾股定理求出AC的长即可；
（2）过D作DE⊥AC，交AC于点E，在直角三角形ADE中，利用含30度直角三角形的性质求出AE的长，利用勾股定理求出DE的长，在直角三角形CDE中，利用勾股定理求出CD的长即可．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠B=60°，AB=4$\sqrt{3}$，
∴∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
根据勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=6；
（2）过D作DE⊥AC，交AC于点E，
在Rt△ADE中，∠DAE=90°-30°=60°，AD=2，
∴∠ADE=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=1，
根据勾股定理得：DE=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
在Rt△DEC中，CE=AC-AE=6-1=5，
根据勾股定理得：CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．

点评 此题考查了勾股定理，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．