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18.如图,在四边形ABCD中,AB=4$\sqrt{3}$,∠DAB=90°,∠B=60°,AC⊥BC,
(1)求AC的长;
(2)若AD=2,求CD的长.

分析 (1)在直角三角形ABC中,由∠B的度数求出∠BAC=30°,利用含30度直角三角形的性质求出BC的长,利用勾股定理求出AC的长即可;
(2)过D作DE⊥AC,交AC于点E,在直角三角形ADE中,利用含30度直角三角形的性质求出AE的长,利用勾股定理求出DE的长,在直角三角形CDE中,利用勾股定理求出CD的长即可.

解答 解:(1)在Rt△ABC中,∠B=60°,AB=4$\sqrt{3}$,
∴∠BAC=30°,
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$,
根据勾股定理得:AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=6;
(2)过D作DE⊥AC,交AC于点E,
在Rt△ADE中,∠DAE=90°-30°=60°,AD=2,
∴∠ADE=30°,
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=1,
根据勾股定理得:DE=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$,
在Rt△DEC中,CE=AC-AE=6-1=5,
根据勾股定理得:CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{7}$.

点评 此题考查了勾股定理,以及含30度直角三角形的性质,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

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