如图.△ABC是以BC为底边的等腰三角形.点A.C分别是一次函数y=-34x+3的图象与y轴.x轴的交点.点B在二次函数y=18x2+bx+c的图象上.且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．(1)试求该二次函数表达式,(2)动点P是线段AC上的一个动点.从A到C以1个单位长/秒的速度运动.当点P运动到点C时.运动停止.计算当点P运� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=-

x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y=

x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）试求该二次函数表达式；
（2）动点P是线段AC上的一个动点，从A到C以1个单位长/秒的速度运动，当点P运动到点C时，运动停止，计算当点P运动多长时间时，△OPC是直角三角形？并计算OP的长度；
（3）点E是线段AD中点，在抛物线上是否存在点Q，直线EQ把平行四边形ABCD的面积分成1：2的两部分？如果存在求出所有满足条件的点Q坐标，如果不存在请说明理由．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）运用x=0，y=0求出点A与点C的坐标，再根据平行四边形的特点求出D点坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式．
（2）设点P运动了t秒时，利用△APO∽△AOC，求出t，再求出OP．
（3）分两种情况，根据ME把平行四边形ABCD的面积分成1：2的两部分，求出M的坐标，再求出ME所在的直线解析式，与抛物线的交点就是点Q的坐标．

解答：解：（1）由y=-

x+3，
令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；
令y=0，得x=4，所以点C（4，0），
∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，
∴B点坐标为（-4，0），
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴D点坐标为（8，3），
将点B（-4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=

x²+bx+c，可得

2-4b+c=0

8+8b+c=3

，
解得

b=-

c=-3

，
∴故该二次函数解析式为：y=

x²-

x-3．
（2）如图，∠OPC=90°，

∵OA=3，OB=4，
∴AC=5．
设点P运动了t秒时，此时AP=t，
∵∠OPC=90°，
∴△APO∽△AOC，
∴

，即

解得t=

，
∴当点P运动

秒时，△OPC是直角三角形，
OP=

AO2-AP2

32-(

，
（3）①如图1，ME把平行四边形ABCD的面积分成1：2的两部分，

∵E为AD中点，
∴AE=DE=4，
∵梯形BMEA和梯形MCDE的高相等，
（BM+AE）：（DE+CM）=1：2
（BM+4）：（4+8-BM）=1：2
解得BM=

，
∵OM=OB-BM=4-

∴M点的坐标为（-

，0），
∵E的坐标为（4，3），
设ME所在的直线解析式为y=kx+b，

0=-

k+b

3=4k+b

解得

∴y=

，
∵y=

x²-

x-3．
联立组成方程组

x2-

x-3

解得

x1=

14-2

259

y1=

123-9

259

x2=

14+2

259

y2=

123+9

259

∴点Q的坐标为（

14-2

259

，

123-9

259

）或（

14+2

259

，

123+9

259

）
②如图2，ME把平行四边形ABCD的面积分成1：2的两部分，

同①可得出CM=

，
∵OM=OC-CM=4-

∴M点的坐标为（

，0），
∵E的坐标为（4，3），
设ME所在的直线解析式为y=kx+b，

k+b

3=4k+b

解得

b=-6

，
∴y=

x-6，
∵y=

x²-

x-3．
联立组成方程组

x-6

x2-

x-3

解得

x1=10+

y1=

66+9

，

x2=10-

y2=

66-9

∴点Q的坐标为（10+

，

66+9

）或（10-

，

66-9

），
综上所述：存在满足条件的点Q坐标（10+

，

66+9

）或（10-

，

66-9

），或（

14-2

259

，

123-9

259

）或（

14+2

259

，

123+9

259

）．

点评：本题主要考查了二次函数综合题，难点在（3）题，解题的关键是运用分成两梯形的面积之比求出点M的坐标，再求直线ME与抛物线的交点，同时考查了学生的计算能力．

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