Question

求证：面积为S的矩形中任意三点（可以在矩形的边界上）组成的三角形面积不超过

1

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S．

Answer 1

分析：利用三角形的面积求法与矩形的性质，比较面积大小，应分三种情况进行讨论，①三角形一边是矩形的一边；②三个顶点在矩形上，三角形在矩形内部；③三个顶点都在矩形内部，利用图形进行分析即可．

解答：证明：分如下三种情况：
（1）如图，这时△ABE的面积是矩形面积的一半；

（2）过E作AB的平行线，
∵S_△FEM=

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EM×CG，S_矩形DEGC=GC×EG，
显然△EFM的面积小于矩形

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DECG的面积，△BEM的面积小于矩形ABGE的面积，
所以△AEF的面积小于矩形

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ABCD的面积；

（3）过E、F、G分别作如图所示的AB、BC的平行线，
这四条线构成一个小矩形，由已经证明的（1）、（2）两种情况可知，△EFG的面积不大于这个小矩形的面积的

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，
即△EFG的面积小于矩形ABCD的面积的

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；
综上，面积为S的矩形中任意三点（可以在矩形的边界上）组成的三角形面积不超过

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S这一命题得证．

点评：此题主要考查了矩形的性质，利用三角形三个顶点位置不同进行分类讨论是解决问题的关键．