Question

10．如图，在长方形ABCD中，AD=10，AB=4，点O是BC中点，点P在AD边上运动，当△OCP是等腰三角形时，试求出所有AP可能的长．（备注：若答案不唯一，则每一种情形需有详细的解答过程．）

Answer 1

分析 分CP=PO、CP=OC和OC=PO三种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．

解答 解：当PC=PQ时，如图1，
作PQ⊥OC于Q，则CQ=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{5}{2}$，
则AP=AD-PD=$\frac{15}{2}$；
当CO=CP时，PD=$\sqrt{C{P}^{2}-C{D}^{2}}$=3，
则AP=7；
当OP=OC时，如图2，
作PH⊥OC于H，
则OH=$\sqrt{O{P}^{2}-P{H}^{2}}$=3，
∴PD=HC=2，
∴AP=2或8，
∴所有AP可能的长为$\frac{15}{2}$或7或2或8．

点评 本题主要考查等腰三角形的性质，分三种情况讨论是解题的关键．注意利用画圆可以找到满足条件的点．