Question

18．观察下列运算：
由（$\sqrt{2}$+1）（$\sqrt{2}$-1）=1，得$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}$-1；
由（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）=1，得$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；
由（$\sqrt{4}$+$\sqrt{3}$）（$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$）=1，得$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$；
…
（1）通过观察得$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）利用（1）中你发现的规律计算：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2015}}$．

Answer 1

分析 （1）根据题意确定出所求即可；
（2）原式各项化简后，合并即可得到结果．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
故答案为：$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）原式=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{2016}$-$\sqrt{2015}$=$\sqrt{2016}$-1．

点评 此题考查了分母有理化，弄清题中的规律是解本题的关键．