Question

5．如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD交BD的延长线于E，BD和CE有何数量关系？试说明．

Answer 1

分析 CE=$\frac{1}{2}$BD，延长CE、BA相交于点F．可以证明Rt△ABD≌Rt△ACF，再证明△BCE≌△BFE得到CE=EF，就可以得出结论．

解答 解：CE=$\frac{1}{2}$BD，
如图，延长CE、BA相交于点F．

∵CE⊥BD交BD的延长线于E，
∴∠1+∠F=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACF+∠F=90°
∴∠1=∠ACF．
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠ACF}\\{AB=AC}\\{∠BAC=∠CAF}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACF（ASA）
∴BD=CF
在△BCE和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{BE=BE}\\{∠CEB=∠FEB}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BFE（ASA）
∴CE=EF
∴CE=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$BD．

点评 本题主要考查了全等三角形的证明，能够想到延长CE、BA相交于点F，构造全等三角形是解决本题的关键．