练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （2013•工业园区二模）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=
    1
    2
    x2+bx+c    与x轴交于A、B两点，点C是AB的中点，CD⊥AB且CD=AB．直线BE与y轴平行，点F是射线BE上的一个动点，连接AD、AF、DF．
    （1）若点F的坐标为（
    9
    2
    ，1），AF=
    		17
    ．
    ①求此抛物线的解析式；
    ②点P是此抛物线上一个动点，点Q在此抛物线的对称轴上，以点A、F、P、Q为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；
    （2）若2b+c=-2，b=-2-t，且AB的长为kt，其中t＞0．如图2，当∠DAF=45°时，求k的值和∠DFA的正切值．
    分析：（1）①在直角△ABF中利用勾股定理即可求得AB的长，则A的坐标可以求得，然后代入二次函数的解析式，即可求得函数的解析式；
    ②分四边形AFPQ、AFQP，AQFP、AQPF四种情况进行讨论，当AF时对角线时，P一定是顶点，根据对角线互相平分即可求得Q的坐标；当AF时平行四边形的一边时，P到对称轴的距离一定等于AB，即可求得Q的横坐标，则过P作PM⊥对称轴于M，则BF=DM，据此即可求得Q的坐标．
    （2）首先求得点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（2t+2，0），再根据AB的长即可求得k的值，过点D作DG∥x轴交BE于点G，则易证四边形ABGH是矩形，同理四边形CBGD是矩形，在Rt△DGF中，DF2=DG2+GF2，据此即可得到一个关于t的方程，解方程即可求得BF的长，利用三角函数的定义即可求解．
    解答：解：（1）①∵直线BE与y轴平行，点F的坐标为（
    9
    2
    ，1），
    ∴点B的坐标为（
    9
    2
    ，0），∠FBA=90°，BF=1．
    在Rt△EFM中，AF=
    		17
    ，
    ∴AB=
    		AF2-FB2
    =
    		17-1
    =4    ．
    ∴点A的坐标为（
    1
    2
    ，0）．
    ∴抛物线的解析式为y=
    1
    2
    (x-
    1
    2
    )(x-
    9
    2
    )=
    1
    2
    x2-
    5
    2
    x+
    9
    8
    ．

    ②第一：以AF为对角线，抛物线顶点为一个顶点．
    第二：以AF为其中一条边分别向左和向右做平行四边形．
    ∴点Q的坐标为：Q1（
    5
    2
    ，3），Q2（
    5
    2
    ，5），Q3（
    5
    2
    ，7）．

    （2）∵2b+c=-2，b=-2-t，
    ∴c=2t+2．
    ∴y=
    1
    2
    x2-(2+t)x+2t+2    ．
    由 
    1
    2
    x2-(2+t)x+2t+2=0    ，（x-2）（x-2t-2）=0．
    解得 x1=2，x2=2t+2．
    ∵t＞0，
    ∴点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（2t+2，0）．
    ∴AB=2t+2-2=2t，
    即 k=2．
    过点D作DG∥x轴交BE于点G，
    AH∥BE交直线DG于点H，延长
    DH至点M，使HM=BF．（如图）
    ∵DG∥x轴，AH∥BE，
    ∴四边形ABGH是平行四边形．
    ∵∠ABF=90°，
    ∴四边形ABGH是矩形．
    同理四边形CBGD是矩形．
    ∴AH=GB=CD=AB=GH=2t．
    ∵∠HAB=90°，∠DAF=45°，
    ∴∠1+∠2=45°．
    ∵在△AFB和△AMH中，
    AB=AH
    ∠ABF=∠AHM=90°
    BF=HM

    ∴△AFB≌△AMH（SAS）．
    ∴∠1=∠3，AF=AM，∠4=∠M．
    ∴∠3+∠2=45°．
    ∵在△AFD和△AMD中，
    AF=AM
    ∠FAD=∠MAD
    AD=AD
    ，
    ∴△AFD≌△AMD（SAS）．
    ∴∠DFA=∠M，FD=MD．
    ∴∠DFA=∠4．
    ∵C是AB的中点，
    ∴DG=CB=HD=t．
    设BF=x，则GF=2t-x，FD=MD=t+x．
    在Rt△DGF中，DF2=DG2+GF2，
    ∴（t+x）2=t2+（2t-x）2，
    解得 x=
    2t
    3
    ．
    ∴tan∠DFA=tan∠4=
    AB
    FB
    =2t÷
    2t
    3
    =3    ．
    点评：考查了二次函数综合题，本题是待定系数法求函数的解析式，矩形的判定，三角形的全等的判定与性质以及勾股定理的综合应用，难度较大．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•工业园区二模）某班50名同学积极响应“为雅安地震灾区献爱心捐款活动”，并将所捐款情况统计并制成统计图，根据图中信息，捐款金额的众数和中位数分别是
    30，30
    30，30
    元．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•工业园区二模）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中AB=8cm，量角器O刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应划过的
    AE
    的长度是
    28π
    9
    28π
    9
    cm．（结果保留π）．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•工业园区二模）设函数y=
    3
    x
    与y=x-2的图象的交点坐标为（a，b），则
    1
    a
    -
    1
    b
    的值为
    -
    2
    3
    -
    2
    3
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•工业园区二模）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．当线段AM最短时，重叠部分的面积是
    96
    25
    96
    25
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案