Question

4．已知直角三角形的两条直角边长分别为6cm，8cm，则直角的角平分线长为$\frac{24}{7}\sqrt{2}$cm．

Answer 1

分析 首先根据角平分线的性质，判断出DF=EF；然后根据相似三角形判定的方法，判断出△ADF∽△FEC，即可判断出$\frac{AD}{EF}=\frac{DF}{CE}$，据此求出x的值是多少，进而求出直角的角平分线长为多少即可．

解答 解：如图1，作FD⊥AB，FE⊥BC，，
Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm，BF是∠ABC的平分线，
∵BF是∠ABC的平分线，FD⊥AB，FE⊥BC，
∴DF=EF，
∵∠ABC=90°，BF是∠ABC的平分线，
∴∠DBF=∠EBF=45°，
∴BD=DF，BE=EF，
∵∠A+∠C=90°，∠A+∠AFD=90°，
∴∠C=∠AFD，
在△ADF和△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠AFD}\\{∠ADF=∠FEC=90°}\end{array}\right.$
∴△ADF∽△FEC，
∴$\frac{AD}{EF}=\frac{DF}{CE}$，
设BD=DF=BE=EF=x，
则AD=8-x，CE=6-x，
∴$\frac{8-x}{x}=\frac{x}{6-x}$，
∴x²=（8-x）（6-x）
解得x=$\frac{24}{7}$，
∴BF=BD×$\sqrt{2}$=$\frac{24}{7}\sqrt{2}$（cm），
即直角的角平分线长为$\frac{24}{7}\sqrt{2}$cm．
故答案为：$\frac{24}{7}\sqrt{2}$cm．

点评 （1）此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
（2）此题主要考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．