Question

如图，已知AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，连结AD、BD，OC交⊙O于点E，AE交BD于G，AE的延长线交BC于点F．给出以下结论：
①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC=FE；④EG=EF．
其中正确的是

①②④

（填编号）．

Answer 1

分析：①根据切线长定理，证△COB≌△COD，可得∠DCO=∠BCO．故OC⊥BD．根据圆周角定理即可得出AD⊥BD，由此可证得AD∥OC；
②连接DE、BE；上面已证得弧DE=弧BE，根据弦切角定理以及圆周角定理相等，易求得DE、BE分别平分∠CDB和∠CBD；根据三角形内心的定义，即可得出结论②正确；
③若FE=FC，则∠OCB=∠CEF=∠OEA=∠OAE，在Rt△OBC中，BD⊥OC，易得∠DBA=∠OCB，即∠DBA=∠EAB；因此弧BE=弧AD，而这个条件并不一定成立．故③不正确；
④根据圆周角定理得到，GF⊥BE．又由②知，BE是∠CBD的平分线，根据等腰三角形的“三合一”性质得到EG=EF．故④正确．

解答：解：①连接OD，DE，EB．CD与BC是⊙O的切线，易证△CDO≌△CBO，则∠DCO=∠BCO．故OC⊥BD．
∵AB是直径，
∴AD⊥BD，
∴AD∥OC，故①正确；

②∵CD是⊙O的切线，
∴∠CDE=

1

2

∠DOE，而∠BDE=

1

2

∠BOE，
∴∠CDE=∠BDE，即DE是∠CDB的角平分线，同理可证得BE是∠CBD的平分线，
因此E为△CBD的内心，故②正确；

③若FC=FE，则应有∠OCB=∠CEF，应有∠CEF=∠AEO=∠EAB=∠DBA=∠DEA，
∴弧AD=弧BE，而弧AD与弧BE不一定相等，故③不正确；

④如图，∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，即GF⊥BE．
又由②知，BE是∠CBD的平分线，
∴BE是等腰△GBF的边GF上的中垂线，则EG=EF．故④正确．
故答案是：①②④．

点评：本题考查了圆的综合题．解题时，利用了切线长定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，弦切角定理，内心的概念求解．