Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，，CE⊥AD于点E．

（1）求证：AE＝CE；

（2）若tanD＝3，求AB的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AB＝4

【解析】

(1)过点B作BF⊥CE于F，根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF，从而得证；

(2)由(1)可知：CF=DE，四边形AEFB是矩形，从而求得AB=EF，利用锐角三角函数的定义得出DE和CE的长，即可求得AB的长．

（1）证明：

过点B作BH⊥CE于H，如图1．

∵CE⊥AD，

∴∠BHC＝∠CED＝90°，∠1＋∠D＝90°．

∵∠BCD＝90°，

∴∠1＋∠2＝90°，

∴∠2＝∠D．

又BC＝CD

∴△BHC≌△CED（AAS）．

∴BH＝CE．

∵BH⊥CE，CE⊥AD，∠A＝90°，

∴四边形ABHE是矩形，

∴AE＝BH．

∴AE＝CE．

（2）∵四边形ABHE是矩形，

∴AB＝HE．

∵在Rt△CED中，，

设DE＝x，CE＝3x，

∴．

∴x＝2．

∴DE＝2，CE＝6．

∵CH＝DE＝2．

∴AB＝HE＝6－2＝4．