Question

如图1，E为线段AB上一点，AB=4BE，以AE，BE为直径在AB的同侧作半圆，圆心分别为O₁，O₂，AC、BD分别是两半圆的切线，C、D为切点．
（1）求证：AC=

3

BD；
（2）现将半圆O₂沿着线段BA向点A平移，如图2，此时半圆O₂的直径E′B′在线段AB上，AC′是半圆O₂的切线，C′是切点，当

AE/

AB

为何值时，以A、C′、O₂为顶点的三角形与△BDO₁相似？

Answer 1

分析：（1）如果设⊙O₁的半径为R，⊙O₂的半径为r，那么根据AB=4BE，可知R=3r．连接O₁D，O₂C，那么O₁B=5r，AO₂=7r，可在直角△BO₁D中求出BD的长，同理求出AC的长，即可得出AC，BD的比例关系；
（2）本题要分两种情况进行讨论：
①当∠CAO₂=∠B时，O₂C，O₁D和AO₂，BO₁分别对应成比例．设AE′=kAB，那么可用k，r表示出AE′的长，然后代入比例关系式中即可求出k的值．
②当∠CAO₂=∠DO₁B时，AO₂，BO₁和O₂C，BD对应成比例，然后按①的方法即可求出此时k的值．

解答：（1）证明：连接O₁D，O₂C，设⊙O₁的半径为R，⊙O₂的半径为r，
则R=3r
在直角三角形BO₁D中
∵BO₁=5r，O₁D=3r
∴BD=4r，
同理可求得AC=4

3

r
∴AC=

3

BD；

（2）解：设AE′=kAB，因此AE′=8kr
①当∠C′AO₂=∠B时，

O2C

O1D

=

AO2

BO1

，即

r

3r

=

8kr+r

5r

∴k=

1

12

，
②当∠C′AO₂=∠BO₁D时，

O2A

O1B

=

O2C

BD

，即

8kr+r

5r

=

r

4r

∴k=

1

32

，

AE′

AB

=

1

12

或

AE′

AB

=

1

32

时，以A、C′、O₂为顶点的三角形与△BDO₁相似．

点评：本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，要注意（2）中要按不同的相似三角形对应的成比例线段是不同的，因此要分类讨论．不要漏解．