Question

如图1，矩形OABC中，AB=8，OA=4，把矩形OABC对折，使点B与点O重合，点C移到点F位置，折痕为DE．
（1）求OD的长；
（2）连接BE，四边形OEBD是什么特殊四边形？请运用所学知识进行说明；
（3）以O点为坐标原点，OC、OA 所在的直线分别为x轴、y轴（如图2），求直线EF的函数表达式．

Answer 1

解：（1）如图1，
∵矩形OABC对折，使点B与点O重合，点C移到点F位置，
∴OD=DB，
设OD=x，则DB=x，AD=8﹣x，
在Rt△AOD中，OA=4，
∴OD²=AD²+OA²，即x²=（8﹣x）²+4²，解得x=5，
所以OD的长为5；

（2）四边形OEBD是菱形．理由如下：
∵矩形OABC对折，使点B与点O重合，点C移到点F位置，
∴∠2=∠1，DB=DO，BE=EO，
而∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD=OE，
∴OD=DB=BE=OE，
∴四边形OEBD是菱形；
（3）过F作FG⊥x轴于G，如图2，
∵矩形OABC对折，使点B与点O重合，点C移到点F位置，
∴OE=OD=5，EC=EF=3，OF=BC=4，∠OFE=∠B=90°，
∴E点坐标为（5，0）；
∵ OE·GF=OF·EF，
∴GF==，
在Rt△OFG中，OG===，
∴F点坐标为（，﹣），
设直线EF的解析式为y=kx+b，
把E（5，0）和F（，﹣）代入得，5k+b=0，k+b=﹣，解得k=，b=﹣，
∴直线EF的函数表达式为y=x﹣．