Question

阅读下面材料：
如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．如图1 所示，平行四边形ABCD即为△ABC的“友好平行四边形”．
请解决下列问题:
（1）仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好矩形”；
（2）若△ABC是钝角三角形，则△ABC显然只有一个“友好矩形”， 若△ABC是直角三角形，其“友好矩形”有           个；
（3）若△ABC是锐角三角形，且，如图2，请画出△ABC的所有“友好矩形”；指出其中周长最小的“友好矩形”并说明理由.

Answer 1

（1）说明见解析；（2）2；（3）作图见解析，周长最小的“友好矩形”是矩形ABHK，理由见解析.

试题分析：（1）类似“友好平行四边形”的定义，即可写出“友好矩形”的定义.
（2）如图，此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF． 

（3）分别以三角形的一边当矩形的另一边，过第三个顶点作矩形的对边，从而画出矩形，根据三角形和矩形的面积公式，可知三个矩形的面积相等，设矩形的面积是S，三角形的三条边分别是a，b，c．根据矩形的面积由其中一边表示出矩形的另一边，进一步求得其周长，运用求差法比较它们的周长的大小．
试题解析：（1）三角形的一边与矩形的一边重合，三角形这边所对的顶点在矩形这边的对边上. 
（2）2；  
（3）画图如下：

周长最小的“友好矩形”是矩形ABHK. 理由如下：
易知，这三个矩形的面积相等，令其为S，设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L₁，L₂，L₃，
△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则：，
∴.
而ab＞S，a＞b，
∴＞0，即.
同理可得，，
∴L₃最小，即矩形ABHK的周长最小．