Question

12．如图．在正方形ABCD中，点E是BC边上的中点，EF⊥AC于点F．连接DF并延长交BC于G．过F作FM⊥DG交CD于N，交BC的延长线于点M．
（1）求证：△FEG≌△FCN；
（2）猜想CG与EG的数量关系．并说明理由；
（3）若AB=6．求△FCM的面积．

Answer 1

分析 （1）先由正方形的性质得出，∠FEC=∠ECF=45°，进而得出EF=CF，即可得出结论；
（2）先判断出△GHF∽△GCD得出$\frac{GH}{CG}=\frac{FH}{CD}$，再用等腰直角三角形的性质得出EC=2a，CD=4a，即可得出GH，即可得出结论；
（3）先判断出△MFG≌△DFN，即可得出CM=CE，借助（2）的结论求出CM=3，FH=$\frac{3}{2}$，最后用三角形的面积公式即可得出结论．

解答 （1）证：∵AC是正方形的对角线，
∴∠ACD=∠ACB=45°，
∵EF⊥AC，
∴∠EFC=90°，
∴∠FEC=∠ECF=45°，
∴EF=CF，
∵∠CFE=∠GFN=90°，
∴∠EFG=∠CFN，
在△FEG和△FCN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FEG=∠FCN}\\{EF=CF}\\{∠EFG=∠CFN}\end{array}\right.$，
∴△FEG≌△FCN；

（2）解：CG=2EG，
理由：
如图，过点F作FH⊥BC于H，
∴FH∥DC，
∴△GHF∽△GCD，
∴$\frac{GH}{CG}=\frac{FH}{CD}$，
设FH=a，
∴EH=CH=FN=a，
∴EC=2a，
∵E是正方形ABCD的边BC中点，
∴CD=BC=2CE=4a，
∵CG=GH+CH=a+GH，
∴$\frac{GH}{a+GH}$=$\frac{1}{4}$，
∴GH=$\frac{1}{3}$a，
∴EG=EH-GH=a-$\frac{1}{3}$a=$\frac{2}{3}$a，CG=CH+GH=a+$\frac{1}{3}$a=$\frac{4}{3}$a，
∴CG=2EG；

（3）由（1）知，△FEG≌△FCN，
∴FG=FN，
在△MFG和△DFN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠FDN}\\{∠MFG=∠DFN}\\{FG=FN}\end{array}\right.$，
∴△MFG≌△DFN，
∴MG=DN，
∴ME=CD=BC，
∵点E是BC的中点，
∴CM=CE，
设FH=a，
由（2）知，BC=4a，CE=2a，
∴CM=2a，
∵AB=6，
∴4a=6，
∴a=$\frac{3}{2}$，
∴FH=a=$\frac{3}{2}$，CM=2a=3，
∴S_△FCM=$\frac{1}{2}$CM•FH=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{4}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，解（1）的关键是得出EF=CF，解（2）的关键是得出GH，解（3）的关键是判断出△MFG≌△DFN，是一道很好的中考常考题．