Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，3），B（3，0），过B作直线BC⊥x轴，一个动点N自OA的中点M出发，沿直线先到达x轴上的E点，再到直线BC上的F点，最后到达点A．
（1）求多边形AMEF面积的最小值；
（2）求使N点运动的总路径最短的E点、F点的坐标，并求出这个最短的总路径的长．

Answer 1

分析 （1）连接MF，由S_{多边形AMEF}=S_△AMF+S_△MEF且S_△AMF=$\frac{9}{4}$，可知当E、F重合时，M、E、F在同一条线段上，即S_△MEF最小，即可得出答案；
（2）根据两点之间线段最短和轴对称的性质来求解．可作点M关于x轴的对称轴P，及点A关于直线BC的对称点Q，连接PQ．那么E、F就是直线PQ与x轴和直线BC的交点，待定系数求出PQ所在直线解析式，从而可得点E、F的坐标，再利用勾股定理求出PQ长度即可．

解答 解：（1）由题意可知点M的坐标为（0，$\frac{3}{2}$），如图1，连接MF，

则S_{多边形AMEF}=S_△AMF+S_△MEF，
∵S_△AMF=$\frac{1}{2}$×AM×3=$\frac{9}{4}$，
∴当E、F重合时，M、E、F在同一条线段上，即S_△MEF最小，且S_△MEF=0，
∴多边形AMEF面积的最小值为$\frac{9}{4}$；

（2）如图2，取点M关于x轴的对称轴P，及点A关于直线BC的对称点Q，

则P（0，-$\frac{3}{2}$）、Q（6，3），
∵ME+EF+FA=PE+EF+FQ，
当P、E、F、Q四点在一条直线上时，总路径最短，
则直线PQ与x轴的交点E、与直线BC的交点F即为所求的点，其最短距离为线段PQ的长，
设直线PQ的解析式为y=ax-$\frac{3}{2}$，
将点Q（6，3）代入，得：6a-$\frac{3}{2}$=3，解得：a=$\frac{3}{4}$，
∴y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$，
当x=3时，y=$\frac{3}{4}$，即点F坐标为（3，$\frac{3}{4}$），
当y=0时，x=2，即点E的坐标为（2，0），
∵AQ=6，AP=$\frac{9}{2}$，
∴PQ=$\sqrt{A{Q}^{2}+A{P}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（\frac{9}{2}）^{2}}$=$\frac{15}{2}$，
即ME+EF+FA的最小距离为$\frac{15}{2}$．

点评 此题主要考查了坐标与图形的性质，用待定系数法求一次函数解析式以及利用对称求最小值问题和勾股定理等知识，利用根据两点之间线段最短和轴对称的性质来求解是解题关键．