Question

8．已知关于x的一元二次方程x²+mx+2-$\frac{1}{2}$m=0．
（1）若该方程有两个相等的实数根，求m的值；
（2）在等腰△ABC中，一边a=3，另两边b，c是该方程的两个根，试求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）只需令根的判别式等于0，就可解决问题；
（2）①若a为底边，则b=c，则有根的判别式等于0，即可求出m的值，然后代入原方程，并解此方程，由此可求出△ABC的周长；②若a为腰，则b=a=3，或c=a=3，则原方程有一根为3，把x=3代入方程，求出m，然后解此方程，由此可求出△ABC的周长．

解答 解：（1）∵方程有两个相等的实数根，
∴△=m²-4×1×（2-$\frac{1}{2}$m）=0，
解得：m₁=-4，m₂=2；

（2）①若a为底边，则b=c，
∴△=m²-4×1×（2-$\frac{1}{2}$m）=0，
解得：m₁=-4，m₂=2；
当m=-4时，原方程为x²-4x+4=0，
解得x₁=x₂=2，
∵2+2＞3，
∴2、2、3能构成三角形，
此时△ABC的周长为2+2+3=7；
当m=2时，原方程为x²+2x+1=0，
解得x=-1（舍去）
②若a为腰，则b=a=3，或c=a=3，
3²+3m+2-$\frac{1}{2}$m=0，
解得m=-$\frac{22}{5}$，
此时原方程为x²-$\frac{22}{5}$x+$\frac{21}{5}$=0，
解得x₁=$\frac{7}{5}$，x₂=3，
∵3+3＞$\frac{7}{5}$，
∴3、3、$\frac{7}{5}$能构成三角形，
此时△ABC的周长为3+3+$\frac{7}{5}$=$\frac{37}{5}$；
综上所述：△ABC的周长为7或$\frac{37}{5}$．

点评 本题主要考查了根的判别式、等腰三角形的性质、解一元二次方程、三角形的构成条件等知识，运用分类讨论的思想是解决本题的关键，需要注意的是，涉及到三角形的三边时，要考虑三角形的构成条件．