Question

18．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线和它的外接圆⊙O相交于点E，过E作弦EF，使EF=AB．求证：EF∥AC．

Answer 1

分析 先根据圆心角、弧、弦的关系由EF=AC得到$\widehat{EF}$=$\widehat{AB}$，则$\widehat{AF}$=$\widehat{BE}$，再根据圆周角定理得∠E=∠EAC，由于∠BAE=∠EAC，所以∠E=∠BAE，然后根据平行线的判定即可得到EF∥AB．

解答 证明：∵EF=AB，
∴$\widehat{EF}$=$\widehat{AB}$，
∴$\widehat{BF}$+$\widehat{BE}$=$\widehat{BF}$+$\widehat{AF}$，
∴$\widehat{AF}$=$\widehat{BF}$，
∴∠EAB=∠AEF，
∵∠BAE=∠CAE，
∴∠CAE=∠AEF，
∴EF∥AC．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆周角定理．