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    两只全等的直角三角板ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=4．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：

    （1）如图 （1），将△DEF沿线段AB以1cm/s的速度向右平移（即D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，显然，随着时间x的变化，四边形CDBF的形状在不断的变化，探究它的面积是否变化：如果变化，试用x的代数式表示四边形CDBF的面积S；如果不变，说明理由，并求出其面积．
    （2）在备用图（2）中尝试解决：
    ①运动过程中四边形CDBF有可能是正方形吗？如果可能，求出x，如果没有简要说明理由．
    ②当x为何值时，四边形CDBF为菱形？说明理由．
    （3）如图（3），在（2）②的情况下，将△DEF的D点固定，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，连接AE，设∠AED=α，旋转的角度为β，
    ①当β=60°时，画出图形，并请你求出sinα的值．
    ②当0°≤β≤180°时，试写出sinα的最大值．
    分析：（1）过C作CG⊥AB于G，解直角三角形求出CG、AB，根据平移的性质得到CF∥AE，AD=CF，然后利用梯形的面积公式列式求解即可得到四边形CDBF的面积不变，为定值；
    （2）①再求出AG，可得AG≠CG，从而得到CG≠CF，然后判断出四边形CDBF不可能是正方形；
    ②根据菱形的四条边都相等可得CD=CF，然后求出AD=CF求出AD=CD，从而判断出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AD=AC，从而得解；
    （3）①β=60°时，点B、F重合，解直角三角形求出AB、BC，即可得到DE、EF，再利用勾股定理列式求出AE，过点D作DG⊥AE于G，然后利用△AGD和△ABE相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出DG，再利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解；
    ②根据DE的长度不变可知当AD⊥DE是sinα的值最大，然后列式即可得解．
    解答：解：（1）如图，过C作CG⊥AB于G，
    ∵∠A=60°，AC=4，
    ∴CG=AC•sin60°=4×
    		3
    2
    =2
    		3
    ，
    AB=AC÷cos60°=4÷
    1
    2
    =8，
    由平移的性质可得CF∥AE，AD=CF，
    ∴四边形CDBF的面积=
    1
    2
    （CF+BD）•CG，
    =
    1
    2
    （AD+BD）•CG，
    =
    1
    2
    AB•CG=
    1
    2
    ×8×2
    		3
    ，
    =8
    		3
    ，（不变为定值）；

    （2）①∵AG=AC•cos60°=4×
    1
    2
    =2，
    ∴AG≠CG，
    ∴当点D运动到点G时，点C运动到点F，
    CF=AG≠CG，
    ∴四边形CDBF不可能是正方形；
    ②∵四边形CDBF为菱形，
    ∴CD=CF，
    又∵AD=CF，
    ∴AD=CD，
    ∵∠A=60°，
    ∴△ACD是等边三角形，
    ∴AD=AC=4，
    即x=4时，四边形CDBF为菱形；

    （3）①当β=60°时，如图所示，
    ∵AB=8，BC=AC•tan60°=4
    		3
    ，
    ∴DE=AB=8，EF=BC=4
    		3
    ，
    根据勾股定理，AE=
    		AB2+EF2
    =
    		82+(4
    		3
    )    2
    =4
    		7
    ，
    过点D作DG⊥AE于G，则△AGD∽△ABE，
    ∴
    DG
    EF
    =
    AD
    AE
    ，
    即
    DG
    4
    		3
    =
    4
    4
    		7
    ，
    解得DG=
    4
    		21
    7
    ，
    ∴sinα=
    DG
    DE
    =
    4
    		21
    7
    4
    		3
    =
    		7
    7
    ；
    ②∵DE的长度不变，
    ∴当AD⊥DE时，sinα的值最大，
    最大值为
    AD
    DE
    =
    4
    8
    =
    1
    2
    ．
    点评：本题是几何变换综合题型，主要考查了平移变换的性质，解直角三角形，正方形的判定，菱形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，（3）难度稍大，根据DE的长度不变判断出∠AED所在的直角三角形是解题的关键．
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    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：

    小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．
    根据以上情境，解决下列问题：
    作法：（如图1）
    ①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE．
    ②分别以D、E为圆心，以大于
    12
    DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交与点C．
    ③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．
    小聪只带来直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线（如图2），方法如下：
    步骤：①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM、ON，使OM=ON．
    ②分别过M、N作OM、ON的垂线，交与点P．
    ③作射线OP，则OP为∠AOB的平分线．
    ①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是
    SSS
    SSS
    ．
    ②小聪的作法正确吗？请说明理由．
    ③请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法．（要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明）

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读材料，解答问题：
    在数学课上，李老师和同学们一起探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角的平分线，作法如下：
    ①如图1，在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；
    ②分别以D、E为圆心，以大于
    12
    DE    的长为半径作弧，两弧交于点C；
    ③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．

    小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，作法如下：
    ①如图2，利用三角板上的刻度，在OA和OB上
    分别画点M、N，使OM=ON；
    ②分别过点M、N作OM、ON的垂线，交于点P；
    ③作射线OP，则OP就是∠AOB的平分线．
    小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．
    请你按要求完成下列问题：
    （1）李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的方法是
    “SSS”
    “SSS”
    ．
    （2）小聪的作法正确吗？请说明理由．
    （3）请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法（要求：画出图形，并简述过程和理由）

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    阅读材料，解答问题：
    在数学课上，李老师和同学们一起探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角的平分线，作法如下：
    ①如图1，在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；
    ②分别以D、E为圆心，以大于数学公式的长为半径作弧，两弧交于点C；
    ③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．

    小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，作法如下：
    ①如图2，利用三角板上的刻度，在OA和OB上
    分别画点M、N，使OM=ON；
    ②分别过点M、N作OM、ON的垂线，交于点P；
    ③作射线OP，则OP就是∠AOB的平分线．
    小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．
    请你按要求完成下列问题：
    （1）李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的方法是______．
    （2）小聪的作法正确吗？请说明理由．
    （3）请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法（要求：画出图形，并简述过程和理由）

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    科目：初中数学 来源：2012年10月中考数学模拟试卷（13）（解析版） 题型：解答题

    两只全等的直角三角板ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=4．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：

    （1）如图 （1），将△DEF沿线段AB以1cm/s的速度向右平移（即D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，显然，随着时间x的变化，四边形CDBF的形状在不断的变化，探究它的面积是否变化：如果变化，试用x的代数式表示四边形CDBF的面积S；如果不变，说明理由，并求出其面积．
    （2）在备用图（2）中尝试解决：
    ①运动过程中四边形CDBF有可能是正方形吗？如果可能，求出x，如果没有简要说明理由．
    ②当x为何值时，四边形CDBF为菱形？说明理由．
    （3）如图（3），在（2）②的情况下，将△DEF的D点固定，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，连接AE，设∠AED=α，旋转的角度为β，
    ①当β=60°时，画出图形，并请你求出sinα的值．
    ②当0°≤β≤180°时，试写出sinα的最大值．

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