Question

如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过O点作直线EF分别交BC、AD于E、F．
（1）求证：BE=DF；
（2）若AC，EF将平行四边形ABCD分成的四部分的面积相等，指出E点的位置，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）易证△AOF≌△COE，那么AF=CE，由AD=BC可得BE=DF．
（2）面积相等的四边形的高与底应该相等，那么利用对角线的互相平分可得到被分成的四个三角形的面积是相等的．
解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴在△AOF与△COE中，
，
∴△AOF≌△COE．
∴AF=CE．
又∵AD=BC，
∴AD-AF=BC-BE，
即BE=DF．

（2）答：当E点与B点重合时，EF将平行四边形ABCD分成的四个部分的面积相等．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
理由：由△ABO与△AOD等底同高可知面积相等，
同理，△ABO与△BOC的面积相等，△AOD与△COD的面积相等，
从而易知所分成的四个三角形面积相等．
点评：出现上图时，通常要证新直线所在的三角形全等；需注意利用平行四边形的对角线互相平分得到被对角线分成的四个三角形的面积相等．