Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求直线AC的解析式，并直接写出D点的坐标．

（2）如图1，在直线AC的上方抛物线上有一动点P，过P点作PQ垂直于x轴交AC于点Q，PM∥BD交AC于点M．

①求△PQM周长最大值；

②当△PQM周长取得最大值时，PQ与x轴交点为H，首位顺次连接P、H、O、D构成四边形，它的周长为L，若线段OH在x轴上移动，求L最小值时OH移动的距离及L的最小值．

（3）如图2，连接BD与y轴于点F，将△BOF绕点O逆时针旋转，记旋转后的三角形为△BOF′，B′F′所在直线与直线AC、直线OC分别交于点G、K，当△CGK为直角三角形时，直接写出线段BG的长．

Answer 1

【答案】(1)、y=x+3；（﹣1，4）；(2)、△PMQ的周长最大值为；L的最小值为；(3)、或4

【解析】

试题分析：(1)、首先求出抛物线与坐标轴的交点，利用待定系数法以及配方法即可解决问题．(2)、①如图1中，作DN∥y轴J交AC于N，直线BD交AC于K．先求出△DKN的三边，再求出PQ的最大值，利用相似三角形的性质求出PM、MQ即可解决问题．②如图2中，作PE∥x轴交y轴与E，作E关于x轴的对称点K，连接DK与x轴交于点O′，将OH平移到O′H处，此时四边形PHO′D的周长最小．分别求出PD，DK，OO′即可解决问题．(3)、分两种情形①如图3中，当∠CGK=90°时，作OE⊥GK于E，想办法求出点G坐标即可．②如图4中，当∠CKG=90°时，求出点G坐标即可解决问题．

试题解析：(1)、对于抛物线y=﹣x2﹣2x+3，令x=0得y=3，∴点C（0，3）， 令y=0得﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1， ∴A（﹣3，0），B（1，0）， 设直线AC的解析式为y=kx+b，把A、C两点坐标代入得到， 解得， ∴直线AC的解析式为y=x+3．∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴顶点D坐标为（﹣1，4）．

(2)、①如图1中，作DN∥y轴J交AC于N，直线BD交AC于K．

∵直线AC的解析式为y=x+3，直线BD的解析式为y=y=﹣2x+2， 由解得，

∴点K坐标（﹣，），N（﹣1，2）， ∴DN=2，DK==，KN==， 在△PMQ中，∵∠PMQ=∠DKN=定值，

∴当△PMQ周长的最大值时，PQ定值最大，设P（m，﹣m2﹣2m+3）则Q（m，m+3），

∴PQ=﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3=﹣m2﹣3m=﹣（m+）2+． ∵a=﹣1＜0， ∴m=﹣时，PQ的最大值为，

由△PMQ∽△DKN，得==， ∴==， ∴PM=，MQ=，

∴△PMQ的周长最大值为++． ②如图2中，作PE∥x轴交y轴与E，作E关于x轴的对称点K，连接DK与x轴交于点O′，将OH平移到O′H处，此时四边形PHO′D的周长最小．

∵P（﹣，），D（﹣1，4），K（0，﹣）， ∴O′坐标为（﹣，0），PD==，DK==，O′H=，

∴OH向左平移个单位，L的最小值=PD+DK+O′H=++．

()、①如图3中，当∠CGK=90°时，作OE⊥GK于E，

∵OA=OC，∠AOC=90°， ∴∠GCK=∠GKC=∠OKE=∠KOE=45°， ∵OE===，

∴OK=，KC=3﹣， ∴G（﹣， +），

∴GB==．

②如图4中，当∠CKG=90°时，点G（﹣3，），

∴BG==4．